Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện có điện dung C thay đổi được như hình bên. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AN và NB lần lượt là ${{U}_{AN}}$ và ${{U}_{NB}}.$ Điều chỉnh C để ${{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}}$
đạt giá trị cực đại thì hệ số công suất của đoạn mạch AB là $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ Hệ số công suất của đoạn mạch AN có giá trị gần nhấtgiá trị nào sau đây?
A. 0,85
B. 0,89
C. 0,91
D. 0,79
đạt giá trị cực đại thì hệ số công suất của đoạn mạch AB là $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ Hệ số công suất của đoạn mạch AN có giá trị gần nhấtgiá trị nào sau đây?
A. 0,85
B. 0,89
C. 0,91
D. 0,79
Phương pháp:
+ Vẽ giản đồ véc tơ
+ Sử dụng định lí hàm số sin trong tam giác: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
+ Sử dụng công thức lượng giác
+ Sử dụng BĐT Bunhia
Cách giải:
Từ giản đồ, ta có:
$\dfrac{U}{\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-{{\varphi }_{AN}} \right)}=\dfrac{{{U}_{AN}}}{\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\varphi \right)}=\dfrac{{{U}_{NB}}}{\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}=\dfrac{3{{U}_{NB}}}{3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{U}{\cos {{\varphi }_{AN}}}=\dfrac{{{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}}}{\cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}$ $\Rightarrow {{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}}=\dfrac{U}{\cos {{\varphi }_{AN}}}\left[ \cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right) \right]$
${{\left[ {{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}} \right]}_{\max }}$ khi ${{\left[ \dfrac{\cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}{\cos {{\varphi }_{AN}}} \right]}_{\max }}$
Ta có: $\dfrac{\cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}{\cos {{\varphi }_{AN}}}=\dfrac{\cos \varphi +3\sin \varphi \cos {{\varphi }_{AN}}+3\cos \varphi \sin {{\varphi }_{AN}}}{\cos {{\varphi }_{AN}}}$
$=\dfrac{\cos \varphi \left( 1+3\sin {{\varphi }_{AN}} \right)+3\sin \varphi .\cos {{\varphi }_{AN}}}{\cos {{\varphi }_{AN}}}\text{ }(*)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có:
$(*)\le \dfrac{\left( {{\cos }^{2}}\varphi +{{\sin }^{2}}\varphi \right)\left[ {{\left( 1+3\sin {{\varphi }_{AN}} \right)}^{2}}+{{\left( 3\cos {{\varphi }_{AN}} \right)}^{2}} \right]}{\cos {{\varphi }_{AN}}}$
Dấu = xảy ra khi: $\dfrac{1+3\sin {{\varphi }_{AN}}}{\cos \varphi }=\dfrac{3\cos {{\varphi }_{AN}}}{\sin \varphi }$
Lại có: $\cos \varphi =\sin \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (đề bài cho)
$\Rightarrow \dfrac{1+3\sin {{\varphi }_{AN}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{3\cos {{\varphi }_{AN}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$
$\cos {{\varphi }_{AN}}-\sin {{\varphi }_{AN}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{\varphi }_{AN}}=0,547rad\Rightarrow \cos {{\varphi }_{AN}}=0,8538$
+ Vẽ giản đồ véc tơ
+ Sử dụng định lí hàm số sin trong tam giác: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
+ Sử dụng công thức lượng giác
+ Sử dụng BĐT Bunhia
Cách giải:
Từ giản đồ, ta có:
$\dfrac{U}{\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-{{\varphi }_{AN}} \right)}=\dfrac{{{U}_{AN}}}{\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\varphi \right)}=\dfrac{{{U}_{NB}}}{\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}=\dfrac{3{{U}_{NB}}}{3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{U}{\cos {{\varphi }_{AN}}}=\dfrac{{{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}}}{\cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}$ $\Rightarrow {{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}}=\dfrac{U}{\cos {{\varphi }_{AN}}}\left[ \cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right) \right]$
${{\left[ {{U}_{AN}}+3{{U}_{NB}} \right]}_{\max }}$ khi ${{\left[ \dfrac{\cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}{\cos {{\varphi }_{AN}}} \right]}_{\max }}$
Ta có: $\dfrac{\cos \varphi +3\sin \left( {{\varphi }_{AN}}+\varphi \right)}{\cos {{\varphi }_{AN}}}=\dfrac{\cos \varphi +3\sin \varphi \cos {{\varphi }_{AN}}+3\cos \varphi \sin {{\varphi }_{AN}}}{\cos {{\varphi }_{AN}}}$
$=\dfrac{\cos \varphi \left( 1+3\sin {{\varphi }_{AN}} \right)+3\sin \varphi .\cos {{\varphi }_{AN}}}{\cos {{\varphi }_{AN}}}\text{ }(*)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có:
$(*)\le \dfrac{\left( {{\cos }^{2}}\varphi +{{\sin }^{2}}\varphi \right)\left[ {{\left( 1+3\sin {{\varphi }_{AN}} \right)}^{2}}+{{\left( 3\cos {{\varphi }_{AN}} \right)}^{2}} \right]}{\cos {{\varphi }_{AN}}}$
Dấu = xảy ra khi: $\dfrac{1+3\sin {{\varphi }_{AN}}}{\cos \varphi }=\dfrac{3\cos {{\varphi }_{AN}}}{\sin \varphi }$
Lại có: $\cos \varphi =\sin \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (đề bài cho)
$\Rightarrow \dfrac{1+3\sin {{\varphi }_{AN}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{3\cos {{\varphi }_{AN}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$
$\cos {{\varphi }_{AN}}-\sin {{\varphi }_{AN}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{\varphi }_{AN}}=0,547rad\Rightarrow \cos {{\varphi }_{AN}}=0,8538$
Đáp án A.