Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $1+{{\log }_{6}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{6}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Điều kiện $m{{x}^{2}}+2x+m>0$
Ta có $1+{{\log }_{6}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{6}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{6}}\left[ 6\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]\ge {{\log }_{6}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)$
$\Leftrightarrow 6\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge m{{x}^{2}}+2x+m\Leftrightarrow \left( m-6 \right){{x}^{2}}+2x+m-6\le 0$
Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+2x+m>0,\forall x\in \mathbb{R} \left( 1 \right) \\
& \left( m-6 \right){{x}^{2}}+2x+m-6\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Giải (1) : Do $m=0$ không thỏa mãn nên $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {\Delta }'=1-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>1$
Giải (2): Do $m=6$ không thỏa mãn nên
$\left( 2 \right)\left\{ \begin{aligned}
& m<6 \\
& {\Delta }'=1-{{\left( m-6 \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<6 \\
& -{{m}^{2}}+12m-35\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<6 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 5 \\
& m\ge 7 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 5$
Suy ra $1<m\le 5$. Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.
Ta có $1+{{\log }_{6}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{6}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{6}}\left[ 6\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]\ge {{\log }_{6}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)$
$\Leftrightarrow 6\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge m{{x}^{2}}+2x+m\Leftrightarrow \left( m-6 \right){{x}^{2}}+2x+m-6\le 0$
Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+2x+m>0,\forall x\in \mathbb{R} \left( 1 \right) \\
& \left( m-6 \right){{x}^{2}}+2x+m-6\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Giải (1) : Do $m=0$ không thỏa mãn nên $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {\Delta }'=1-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>1$
Giải (2): Do $m=6$ không thỏa mãn nên
$\left( 2 \right)\left\{ \begin{aligned}
& m<6 \\
& {\Delta }'=1-{{\left( m-6 \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<6 \\
& -{{m}^{2}}+12m-35\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<6 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 5 \\
& m\ge 7 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 5$
Suy ra $1<m\le 5$. Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.
Đáp án C.