T

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 1, gọi $M$ là trung điểm $AD$...

Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 1, gọi $M$ là trung điểm $AD$ và $N$ trên cạnh $BC$ sao cho $BN=2NC.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $CD$ là
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{9}$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}}{9}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{9}$
image26.png

Gọi $H$ là trung điểm $CD.$
$E,F$ lần lượt là điểm trên $BD,BC$ sao cho $BE=\dfrac{1}{3}BC,BF=\dfrac{1}{3}BD.$
$K$ là giao điểm của $BH$ và $EF.$ Kẻ $GL$ vuông góc với $AK$
$\left\{ \begin{aligned}
& NP//CD \\
& NP\subset \left( MNP \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD//\left( MNP \right).$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( MNP \right)//\left( AEF \right) \\
& BK=KG=GH \\
\end{aligned} \right. $ nên $ d\left( G;\left( AEF \right) \right)=d\left( \left( AEF \right),\left( MNP \right) \right)=d\left( H,\left( MNP \right) \right).$
$d\left( CD,\left( MNP \right) \right)=d\left( H,\left( MNP \right) \right)=d\left( G,\left( AEF \right) \right)=GL.$
Ta có GA là chiều cao của khối chóp đều nên $GA=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
$GK=\dfrac{1}{3}BH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Trong tam giác $AGK$ vuông tại $G$ có $GL=\sqrt{\dfrac{G{{A}^{2}}.G{{K}^{2}}}{G{{A}^{2}}+G{{K}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$.
Đáp án B.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top