Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2},A{A}'=2a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $C{D}'$.
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $2a$.
D. $a\sqrt{2}$.
Gọi $O,{O}'$ lần lượt là tâm của hai mặt đáy.
Khi đó tứ giác $CO{O}'{C}'$ là hình bình hành và ${C}'{O}'=\dfrac{AC}{2}=a$.
Do $BD//{B}'{D}'\Rightarrow BD//\left( C{B}'{D}' \right)$ nên
$d\left( BD;C{D}' \right)=d\left( O;\left( C{B}'{D}' \right) \right)=d\left( {C}';\left( C{B}'{D}' \right) \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{D}'\bot {A}'{C}' \\
& {B}'{D}'\bot C{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{D}'\bot \left( CO{O}'{C}' \right)\Rightarrow \left( C{B}'{D}' \right)\bot \left( CO{O}'{C}' \right)$
Lại có $\left( C{B}'{D}' \right)\cap \left( CO{O}'{C}' \right)=C{O}'$
Trong $\Delta C{C}'{O}'$ hạ ${C}'H\bot C{O}'\Rightarrow {C}'H\bot \left( C{B}'{D}' \right)\Rightarrow d\left( BD;C{D}' \right)={C}'H$
Khi đó $\dfrac{1}{{C}'{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{C}'{{{{O}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow {C}'H=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $2a$.
D. $a\sqrt{2}$.
Gọi $O,{O}'$ lần lượt là tâm của hai mặt đáy.
Khi đó tứ giác $CO{O}'{C}'$ là hình bình hành và ${C}'{O}'=\dfrac{AC}{2}=a$.
Do $BD//{B}'{D}'\Rightarrow BD//\left( C{B}'{D}' \right)$ nên
$d\left( BD;C{D}' \right)=d\left( O;\left( C{B}'{D}' \right) \right)=d\left( {C}';\left( C{B}'{D}' \right) \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{D}'\bot {A}'{C}' \\
& {B}'{D}'\bot C{C}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{D}'\bot \left( CO{O}'{C}' \right)\Rightarrow \left( C{B}'{D}' \right)\bot \left( CO{O}'{C}' \right)$
Lại có $\left( C{B}'{D}' \right)\cap \left( CO{O}'{C}' \right)=C{O}'$
Trong $\Delta C{C}'{O}'$ hạ ${C}'H\bot C{O}'\Rightarrow {C}'H\bot \left( C{B}'{D}' \right)\Rightarrow d\left( BD;C{D}' \right)={C}'H$
Khi đó $\dfrac{1}{{C}'{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{C}'{{{{O}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow {C}'H=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Đáp án B.