Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=\sqrt{3},AD=\sqrt{7}.$ Hai mặt bên $\left( ABB'A' \right)$ và $\left( ADD'A' \right)$ lần lượt tạo với đáy góc ${{45}^{0}}$ và ${{60}^{0}},$ biết cạnh bên bằng 1. Tính thể tích khối hộp.
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
C. $\dfrac{3}{4}$
D. 3
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đáy $\left( A'B'C'D' \right)$ suy ra $AH=h$ là chiều cao
Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $A'B'\Rightarrow \widehat{AIH}={{45}^{0}}$
Gọi $J$ là hình chiếu của $A$ trên $A'D'\Rightarrow \widehat{AJH}={{60}^{0}}$
Ta có $\Delta AIH$ vuông cân tại $H\Rightarrow IH=AH=h$
$\Delta AJH$ vuông tại $H\Rightarrow JH=\dfrac{h}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$
Tứ giác $A'JHI$ là hình chữ nhật $\Rightarrow A'H=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}$
$\Delta AA'H$ vuông tại $H\Rightarrow 1={{h}^{2}}+{{\left( \dfrac{2h\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
${{S}_{ABCD}}=AB.AD=\sqrt{21}$
$\Rightarrow V={{S}_{ABCD}}.h=\sqrt{21}.\dfrac{\sqrt{21}}{7}=3$
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
C. $\dfrac{3}{4}$
D. 3
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đáy $\left( A'B'C'D' \right)$ suy ra $AH=h$ là chiều cao
Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $A'B'\Rightarrow \widehat{AIH}={{45}^{0}}$
Gọi $J$ là hình chiếu của $A$ trên $A'D'\Rightarrow \widehat{AJH}={{60}^{0}}$
Ta có $\Delta AIH$ vuông cân tại $H\Rightarrow IH=AH=h$
$\Delta AJH$ vuông tại $H\Rightarrow JH=\dfrac{h}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$
Tứ giác $A'JHI$ là hình chữ nhật $\Rightarrow A'H=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}$
$\Delta AA'H$ vuông tại $H\Rightarrow 1={{h}^{2}}+{{\left( \dfrac{2h\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
${{S}_{ABCD}}=AB.AD=\sqrt{21}$
$\Rightarrow V={{S}_{ABCD}}.h=\sqrt{21}.\dfrac{\sqrt{21}}{7}=3$
Đáp án D.