Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $6a$, tam giác $SBC$ vuông tại $S$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
A. $V=96\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $V=32\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AH\bot BC$.
Vì $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)=BC$ nên $AH\bot \left( SBC \right)$.
Do $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SBC$ nên $AH$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta SBC$.
Vì $\Delta ABC$ đều nên trọng tâm $G$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Vậy ta có $GA=GB=GC$. Mà $G\in AH$ nên $GS=GB=GC$.
Suy ra $GS=GA=GB=GC$. Vậy $G$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.
Bán kính $R=GA=\dfrac{2}{3}.6a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là : $V=\dfrac{4}{3}.\pi {{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{3}}=32\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
A. $V=96\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $V=32\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AH\bot BC$.
Vì $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)=BC$ nên $AH\bot \left( SBC \right)$.
Do $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SBC$ nên $AH$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta SBC$.
Vì $\Delta ABC$ đều nên trọng tâm $G$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Vậy ta có $GA=GB=GC$. Mà $G\in AH$ nên $GS=GB=GC$.
Suy ra $GS=GA=GB=GC$. Vậy $G$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.
Bán kính $R=GA=\dfrac{2}{3}.6a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là : $V=\dfrac{4}{3}.\pi {{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{3}}=32\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án B.