Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)>\sqrt{{{x}^{2}}+\text{e}}+m$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -3;0 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( -3 \right)-\sqrt{\text{e}+9}.$
B. $m\le f\left( 0 \right)-\sqrt{\text{e}}.$
C. $m<f\left( -3 \right)-\sqrt{\text{e}+9}.$
D. $m<f\left( 0 \right)-\sqrt{\text{e}}.$
Bất phương trình $f\left( x \right)>\sqrt{{{x}^{2}}+\text{e}}+m$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -3;0 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( -3 \right)-\sqrt{\text{e}+9}.$
B. $m\le f\left( 0 \right)-\sqrt{\text{e}}.$
C. $m<f\left( -3 \right)-\sqrt{\text{e}+9}.$
D. $m<f\left( 0 \right)-\sqrt{\text{e}}.$
Xét hàm số
$g\left( x \right)=f\left( x \right)-\sqrt{{{x}^{2}}+e};\!\!~\!\!x\in \left( -3;0 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}.$
Với mọi $x\in \left( -3;0 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)>0;\!\!~\!\!\dfrac{-x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}>0\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -3;0 \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;0 \right).$
Khi đó $m<g\left( x \right)$ có nghiệm với $\forall x\in \left( -3;0 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)-\sqrt{e}.$
$g\left( x \right)=f\left( x \right)-\sqrt{{{x}^{2}}+e};\!\!~\!\!x\in \left( -3;0 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}.$
Với mọi $x\in \left( -3;0 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)>0;\!\!~\!\!\dfrac{-x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}>0\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -3;0 \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;0 \right).$
Khi đó $m<g\left( x \right)$ có nghiệm với $\forall x\in \left( -3;0 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)-\sqrt{e}.$
Đáp án B.