Google
Câu hỏi: Cho hàm số $g\left( x \right)=\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{\ln t}dt}$ với $x>0$. Đạo hàm của $g\left( x \right)$ là
A. ${g}'\left( x \right)=\dfrac{x-1}{\ln x}$.
B. ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1-x}{\ln x}$.
C. ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln x}$.
D. ${g}'\left( x \right)=\ln x$.
A. ${g}'\left( x \right)=\dfrac{x-1}{\ln x}$.
B. ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1-x}{\ln x}$.
C. ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln x}$.
D. ${g}'\left( x \right)=\ln x$.
Giả sử $F\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{1}{\ln t}$.
Khi đó ${F}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\ln t}$ hay ${F}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln x}$.
Ta có $g\left( x \right)=\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{\ln t}dt}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( x \right)$
Suy ra
${g}'\left( x \right)={{\left( F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( x \right) \right)}^{\prime }}={F}'\left( {{x}^{2}} \right)-{F}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln {{x}^{2}}}.2x-\dfrac{1}{\ln x}=\dfrac{x-1}{\ln x}$
Chú ý : Ta có công thức
${{\left( \int\limits_{u\left( x \right)}^{v\left( x \right)}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}={v}'\left( x \right).f\left[ v\left( x \right) \right]-{u}'\left( x \right).f\left[ u\left( x \right) \right]$
Khi đó ${F}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\ln t}$ hay ${F}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln x}$.
Ta có $g\left( x \right)=\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{\ln t}dt}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( x \right)$
Suy ra
${g}'\left( x \right)={{\left( F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( x \right) \right)}^{\prime }}={F}'\left( {{x}^{2}} \right)-{F}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln {{x}^{2}}}.2x-\dfrac{1}{\ln x}=\dfrac{x-1}{\ln x}$
Chú ý : Ta có công thức
${{\left( \int\limits_{u\left( x \right)}^{v\left( x \right)}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}={v}'\left( x \right).f\left[ v\left( x \right) \right]-{u}'\left( x \right).f\left[ u\left( x \right) \right]$
Đáp án A.