Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}+f\left( x \right).{f}''\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1$.
Giá trị của ${{f}^{2}}\left( 1 \right)$ bằng
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. 10.
D. 8.
Giá trị của ${{f}^{2}}\left( 1 \right)$ bằng
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. 10.
D. 8.
Ta có ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{f}''\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{\left[ {f}'\left( x \right).f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=15{{x}^{4}}+12x,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).f\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+{{C}_{1}}$
Do $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1$ nên ta có ${{C}_{1}}=1$. Do đó ${f}'\left( x \right).f\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{2}{{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{\prime }}=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2x+{{C}_{2}}$
Mà $f\left( 0 \right)=1$ nên ta có ${{C}_{2}}=1$. Do đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2x+1$.
Vậy ${{f}^{2}}\left( 1 \right)=8$.
$\Leftrightarrow {{\left[ {f}'\left( x \right).f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=15{{x}^{4}}+12x,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).f\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+{{C}_{1}}$
Do $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1$ nên ta có ${{C}_{1}}=1$. Do đó ${f}'\left( x \right).f\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{2}{{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{\prime }}=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2x+{{C}_{2}}$
Mà $f\left( 0 \right)=1$ nên ta có ${{C}_{2}}=1$. Do đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2x+1$.
Vậy ${{f}^{2}}\left( 1 \right)=8$.
Đáp án D.