Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị đi qua các điểm $A\left( 2;4 \right),B\left( 3;9 \right),C\left( 4;16 \right)$. Các đường thẳng $AB,AC,BC$ lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm $D,E,F$ ( $D$ khác $A$ và $B,E$ khác $A$ và $C,F$ khác $B$ và $C$ ). Biết rằng tổng các hoành độ của $D,E,F$ bằng 24. Tính $f\left( 0 \right)$.
A. – 2.
B. 0.
C. $\dfrac{24}{5}$.
D. 2.
A. – 2.
B. 0.
C. $\dfrac{24}{5}$.
D. 2.
Giả sử $f\left( x \right)=a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)+{{x}^{2}} \left( a\ne 0 \right)$
Ta có $AB$ qua $A\left( 2;4 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;5 \right)$ là một vectơ chỉ phương nên có phương trình $AB:5\left( x-2 \right)-\left( y-4 \right)=0\Leftrightarrow y=5x-6$.
Hoành độ của điểm $D$ là nghiệm của phương trình
$a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)+{{x}^{2}}=5x-6\Leftrightarrow a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)=-\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
$\Rightarrow a\left( x-4 \right)=-1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{a}+4$.
Tương tự, hoành độ của điểm $E$ và $F$ lần lượt là $x=-\dfrac{1}{a}+3$ và $x=-\dfrac{1}{a}+2$.
Ta có $\left( -\dfrac{1}{a}+2 \right)+\left( -\dfrac{1}{a}+3 \right)+\left( -\dfrac{1}{a}+4 \right)=24\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{5}$.
Do đó $f\left( 0 \right)=a.\left( -2 \right).\left( -3 \right).\left( -4 \right)+{{0}^{2}}=\dfrac{24}{5}$.
Ta có $AB$ qua $A\left( 2;4 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;5 \right)$ là một vectơ chỉ phương nên có phương trình $AB:5\left( x-2 \right)-\left( y-4 \right)=0\Leftrightarrow y=5x-6$.
Hoành độ của điểm $D$ là nghiệm của phương trình
$a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)+{{x}^{2}}=5x-6\Leftrightarrow a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)=-\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
$\Rightarrow a\left( x-4 \right)=-1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{a}+4$.
Tương tự, hoành độ của điểm $E$ và $F$ lần lượt là $x=-\dfrac{1}{a}+3$ và $x=-\dfrac{1}{a}+2$.
Ta có $\left( -\dfrac{1}{a}+2 \right)+\left( -\dfrac{1}{a}+3 \right)+\left( -\dfrac{1}{a}+4 \right)=24\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{5}$.
Do đó $f\left( 0 \right)=a.\left( -2 \right).\left( -3 \right).\left( -4 \right)+{{0}^{2}}=\dfrac{24}{5}$.
Đáp án C.