Google
Câu hỏi: Cho hai tam giác $ACD$ và $BCD$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và $AC=AD=BC=BD=a,CD=2x$. Tính giá trị của $x$ sao cho hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ vuông góc với nhau.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB$.
Ta có $AC=AD=BC=BD=a$ nên $\Delta ACD$ cân tại $A,\Delta BCD$ cân tại $B,\Delta CAB$ cân tại $C,\Delta DAB$ cân tại $D$.
Suy ra $AM=BM,CN=DN$.
Góc giữa $\left( ACD \right)$ và $\left( BCD \right)$ là $\widehat{AMB}=90{}^\circ $.
Ta có $BM=AM=\sqrt{A{{D}^{2}}-M{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$.
Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$ ta có :
$MN=\dfrac{AM}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}} \left( 1 \right)$
Góc giữa $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ là góc giữa $CN$ và $DN$.
Khi đó $\left( ABC \right)\bot \left( ABD \right)\Leftrightarrow CN\bot DN\Leftrightarrow \widehat{CND}=90{}^\circ $.
Xét $\Delta CND$ vuông cân tại $N$ ta có $MN=\dfrac{CD}{2}=x \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}=x\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB$.
Ta có $AC=AD=BC=BD=a$ nên $\Delta ACD$ cân tại $A,\Delta BCD$ cân tại $B,\Delta CAB$ cân tại $C,\Delta DAB$ cân tại $D$.
Suy ra $AM=BM,CN=DN$.
Góc giữa $\left( ACD \right)$ và $\left( BCD \right)$ là $\widehat{AMB}=90{}^\circ $.
Ta có $BM=AM=\sqrt{A{{D}^{2}}-M{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$.
Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$ ta có :
$MN=\dfrac{AM}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}} \left( 1 \right)$
Góc giữa $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ là góc giữa $CN$ và $DN$.
Khi đó $\left( ABC \right)\bot \left( ABD \right)\Leftrightarrow CN\bot DN\Leftrightarrow \widehat{CND}=90{}^\circ $.
Xét $\Delta CND$ vuông cân tại $N$ ta có $MN=\dfrac{CD}{2}=x \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}=x\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án C.