Cho $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}-\dfrac{1}{2}x+2020$...

Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2}}-\dfrac{1}{2},h'\left( x \right)=3\cos x.f'\left( 3\sin x \right).$
Phương trình: $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=0\left( 1 \right) \\
& f'\left( 3\sin x \right)=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right).$
Với $x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};6\pi \right],$ suy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\in \mathbb{Z} \\
& \dfrac{\pi }{6}\le \dfrac{\pi }{2}+k\pi \le 6\pi \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\in \mathbb{Z} \\
& -\dfrac{1}{3}\le k\le \dfrac{11}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow k\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}.$
Trên đoạn $\left[ \dfrac{\pi }{6};6\pi \right]$ phương trình $\left( 1 \right)$ có 6 nghiệm.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f'\left( 3\sin x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{3\sin x-1}{\sqrt{{{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}+2}}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow 2\left( 3\sin x-1 \right)=\sqrt{{{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}+2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sin x>\dfrac{1}{3} \\
& 4{{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}={{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sin x>\dfrac{1}{3} \\
& {{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sin x>\dfrac{1}{3} \\
& \sin x=\dfrac{3\pm \sqrt{6}}{9} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \sin x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{9}\left( \approx 0.605 \right)$
Mặt khác: $\sin x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{9}>\dfrac{1}{2}=\sin \dfrac{\pi }{6}$ nên:
+) Trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};6\pi \right]$ thì phương trình $\sin x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{9}$ cho hai nghiệm.
+) Trên mỗi chu kỳ $2\pi $ thì phương trình $\sin x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{9}$ cũng cho hai nghiệm.
Suy ra trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};6\pi \right]$ thì phương trình (2) cho 6 nghiệm.
Vậy trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};6\pi \right]$ thì phương trình $h'\left( x \right)=0$ cho 12 nghiệm.