Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( C \right): y={{x}^{3}}+mx+2$ (với $m$ là tham số thực) và parabol $\left( P \right): y=-{{x}^{2}}+2$ tạo thành hai miền phẳng có diện tích ${{S}_{1}}, {{S}_{2}}$ như hình vẽ sau
Biết ${{S}_{1}}=\dfrac{8}{3}$, giá trị của ${{S}_{2}}$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{5}{12}$.
C. $\dfrac{3}{4}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{5}{12}$.
C. $\dfrac{3}{4}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ là
${{x}^{3}}+mx+2=-{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+x+m=0.\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm trái dấu ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}\Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow m<0$.
Vì ${{x}_{1}}$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ nên $x_{1}^{2}+{{x}_{1}}+m=0\Leftrightarrow m=-x_{1}^{2}-{{x}_{1}}$.
Khi đó
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx \right)\text{d}x}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+m\cdot \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{0} \\
& =-x_{1}^{2}\left[ \dfrac{1}{4}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{3}{{x}_{1}}+\dfrac{1}{2}\left( -x_{1}^{2}-{{x}_{1}} \right) \right] \\
& =x_{1}^{2}\left( \dfrac{1}{4}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{6}{{x}_{1}} \right). \\
Suy ra $m=-2$ và ${{x}_{2}}=1$.
Vậy ${{S}_{2}}=-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)\text{d}x}=\dfrac{5}{12}$.
${{x}^{3}}+mx+2=-{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+x+m=0.\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm trái dấu ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}\Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow m<0$.
Vì ${{x}_{1}}$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ nên $x_{1}^{2}+{{x}_{1}}+m=0\Leftrightarrow m=-x_{1}^{2}-{{x}_{1}}$.
Khi đó
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx \right)\text{d}x}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+m\cdot \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{0} \\
& =-x_{1}^{2}\left[ \dfrac{1}{4}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{3}{{x}_{1}}+\dfrac{1}{2}\left( -x_{1}^{2}-{{x}_{1}} \right) \right] \\
& =x_{1}^{2}\left( \dfrac{1}{4}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{6}{{x}_{1}} \right). \\
\end{aligned}$
Theo giả thiết ${{S}_{1}}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}x_{1}^{4}+\dfrac{1}{6}x_{1}^{3}-\dfrac{8}{3}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-2$ vì ${{x}_{1}}<0$.Suy ra $m=-2$ và ${{x}_{2}}=1$.
Vậy ${{S}_{2}}=-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)\text{d}x}=\dfrac{5}{12}$.
Đáp án B.