Google
Câu hỏi: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có tất cả các số hạng đều dương thỏa mãn ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{2018}}=4\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{1009}} \right)$. Biểu thức $P=\log _{3}^{2}{{u}_{2}}+\log _{3}^{2}{{u}_{5}}+\log _{3}^{2}{{u}_{14}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Ta có ${{S}_{2018}}=\dfrac{2018}{2}\left( 2{{u}_{1}}+2017d \right),{{S}_{1009}}=\dfrac{1009}{2}\left( 2{{u}_{1}}+1008d \right)$.
${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{2018}}=4\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{1009}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{2018}{2}\left( 2{{u}_{1}}+2017d \right)=4.\dfrac{1009}{2}\left( 2{{u}_{1}}+1008d \right)$
$\Leftrightarrow \left( 2{{u}_{1}}+2017d \right)=2\left( 2{{u}_{1}}+1008d \right)\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{d}{2}$
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right):\dfrac{d}{2},\dfrac{3d}{2},\dfrac{5d}{2},...$.
Ta có $P=\log _{3}^{2}{{u}_{2}}+\log _{3}^{2}{{u}_{5}}+\log _{3}^{2}{{u}_{14}}=\log _{3}^{2}\dfrac{3d}{2}+\log _{3}^{2}\dfrac{9d}{2}+\log _{3}^{2}\dfrac{27d}{2}$
$={{\left( 1+{{\log }_{3}}\dfrac{d}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2+{{\log }_{3}}\dfrac{d}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 3+{{\log }_{3}}\dfrac{d}{2} \right)}^{2}}$
Đặt ${{\log }_{3}}\dfrac{d}{2}=x$ thì $P={{\left( 1+x \right)}^{2}}+{{\left( 2+x \right)}^{2}}+{{\left( 3+x \right)}^{2}}=3{{x}^{2}}+12x+14=3{{\left( x+2 \right)}^{2}}+2\ge 2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=-2\Leftrightarrow d=\dfrac{2}{9}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng 2.
${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{2018}}=4\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{1009}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{2018}{2}\left( 2{{u}_{1}}+2017d \right)=4.\dfrac{1009}{2}\left( 2{{u}_{1}}+1008d \right)$
$\Leftrightarrow \left( 2{{u}_{1}}+2017d \right)=2\left( 2{{u}_{1}}+1008d \right)\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{d}{2}$
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right):\dfrac{d}{2},\dfrac{3d}{2},\dfrac{5d}{2},...$.
Ta có $P=\log _{3}^{2}{{u}_{2}}+\log _{3}^{2}{{u}_{5}}+\log _{3}^{2}{{u}_{14}}=\log _{3}^{2}\dfrac{3d}{2}+\log _{3}^{2}\dfrac{9d}{2}+\log _{3}^{2}\dfrac{27d}{2}$
$={{\left( 1+{{\log }_{3}}\dfrac{d}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2+{{\log }_{3}}\dfrac{d}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 3+{{\log }_{3}}\dfrac{d}{2} \right)}^{2}}$
Đặt ${{\log }_{3}}\dfrac{d}{2}=x$ thì $P={{\left( 1+x \right)}^{2}}+{{\left( 2+x \right)}^{2}}+{{\left( 3+x \right)}^{2}}=3{{x}^{2}}+12x+14=3{{\left( x+2 \right)}^{2}}+2\ge 2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=-2\Leftrightarrow d=\dfrac{2}{9}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng 2.
Đáp án C.