Google
Câu hỏi: Cho biết đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ có 3 điểm cực trị $A,B,C$ cùng với điểm $D\left( 0;-3 \right)$ là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi $S$ là tổng các giá trị $m$ thỏa mãn đề bài thì $S$ thuộc khoảng nào sau đây
A. $S\in \left( 2;4 \right)$
B. $S\in \left( \dfrac{9}{2};6 \right)$
C. $S\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right)$
D. $S=\left( 0;\dfrac{5}{2} \right)$
A. $S\in \left( 2;4 \right)$
B. $S\in \left( \dfrac{9}{2};6 \right)$
C. $S\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right)$
D. $S=\left( 0;\dfrac{5}{2} \right)$
Ta có: $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ có 3 điểm cực trị A, B, C.
$y'=4{{x}^{3}}-4m=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m>0$
Không làm mất tính tổng quát giả sử:
$A\left( 0;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right);B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);$
Gọi $I=AD\cap BC\left( A,D\in Oy \right)$
$I$ là trung điểm của $BC\Rightarrow I\left( 0;{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$
$I$ là trung điểm của $AD\Rightarrow I\left( 0;\dfrac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2} \right)$
Đồng nhất ta có: $\dfrac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2}={{m}^{4}}-3{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{4}}-4{{m}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\pm 1 \\
& m=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với đk ta có $m=1,m=\sqrt{3}\Rightarrow S=1+\sqrt{3}$
Vậy $S\in \left( 2;4 \right).$
$y'=4{{x}^{3}}-4m=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow m>0$
Không làm mất tính tổng quát giả sử:
$A\left( 0;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right);B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);$
Gọi $I=AD\cap BC\left( A,D\in Oy \right)$
$I$ là trung điểm của $BC\Rightarrow I\left( 0;{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$
$I$ là trung điểm của $AD\Rightarrow I\left( 0;\dfrac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2} \right)$
Đồng nhất ta có: $\dfrac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2}={{m}^{4}}-3{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{4}}-4{{m}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\pm 1 \\
& m=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với đk ta có $m=1,m=\sqrt{3}\Rightarrow S=1+\sqrt{3}$
Vậy $S\in \left( 2;4 \right).$
Đáp án A.
