Google
Câu hỏi: Biết hàm số $y=\sqrt{{{\sin }^{2}}x+2\sin x+2}+\sqrt{{{\sin }^{2}}x-4\sin x+13}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin x=\dfrac{a}{b}$ $(\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản; $a,b$ là các số nguyên; $b>0)$. Tính ${{a}^{3}}+{{b}^{2}}$
A. $15$.
B. $17$.
C. $65$.
D. $3$.
Đặt $\sin x=t\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\begin{aligned}
& y=\sqrt{{{t}^{2}}+2t+2}+\sqrt{{{t}^{2}}-4t+13}=\sqrt{{{\left( t+1 \right)}^{2}}+1}+\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+9} \\
& =MA+MB \\
\end{aligned}$
Với $M\left( t;0 \right),A\left( -1;-1 \right),B\left( 2;3 \right)$
Ta có $MA+MB\ge AB$
Dấu "=" xảy ra khi $M\equiv I$ là giao điểm của $AB$ với trục $Ox$
Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left( t+1;1 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 3;4 \right)$ mà $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương nên
$\begin{aligned}
& \dfrac{t+1}{3}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow t=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{-1}{4} \\
& \Rightarrow a=-1,b=4 \\
& \Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{2}}={{\left( -1 \right)}^{3}}+{{4}^{2}}=15 \\
\end{aligned}$.
A. $15$.
B. $17$.
C. $65$.
D. $3$.
$\begin{aligned}
& y=\sqrt{{{t}^{2}}+2t+2}+\sqrt{{{t}^{2}}-4t+13}=\sqrt{{{\left( t+1 \right)}^{2}}+1}+\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+9} \\
& =MA+MB \\
\end{aligned}$
Với $M\left( t;0 \right),A\left( -1;-1 \right),B\left( 2;3 \right)$
Ta có $MA+MB\ge AB$
Dấu "=" xảy ra khi $M\equiv I$ là giao điểm của $AB$ với trục $Ox$
Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left( t+1;1 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 3;4 \right)$ mà $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương nên
$\begin{aligned}
& \dfrac{t+1}{3}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow t=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{-1}{4} \\
& \Rightarrow a=-1,b=4 \\
& \Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{2}}={{\left( -1 \right)}^{3}}+{{4}^{2}}=15 \\
\end{aligned}$.
Đáp án A.