Bất phương trình $\ln (2{{x}^{2}}+3)>\ln \left( {{x}^{2}}+ax+1...

Ta có $\ln (2{{x}^{2}}+3)>\ln \left( {{x}^{2}}+ax+1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}+ax+1 \\
& {{x}^{2}}+ax+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-ax+2>0 \\
& {{x}^{2}}+ax+1>0 \\
\end{aligned} \right.\left( I \right)$.
Để bất phương trình $\ln (2{{x}^{2}}+3)>\ln \left( {{x}^{2}}+ax+1 \right)$ đúng với mọi số thực $x$ thì $\left( I \right)$ phải đúng với mọi số thực $x$.
Điều này tương đương với $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( -a \right)}^{2}}-4.2<0 \\
& {{a}^{2}}-4<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}<8 \\
& {{a}^{2}}<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}<4\Leftrightarrow -2<a<2$.
Vậy $-2<a<2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.