Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng: \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=1-t \\ y=2+2t \\ z=3t \end{matrix}\right.\) và \(d'\): \(\left\{\begin{matrix} x=1+t' \\ y=3-2t' \\ z=1 \end{matrix}\right.\). Chứng minh \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Phương pháp giải
Xác định các VTCP của \(d\) và \(d'\), chứng minh 2 vector đó không cùng phương.
Sử dụng điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\) với \({\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\) lần lượt là VTCP của \(d, d'\) và \({M_1} \in d; {M_2} \in d'\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1; 2 ; 0)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-1; 2 ; 3)\).
Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(M'(1; 3 ; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}(1 ; -2; 0)\).
Dễ thấy \({\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\) không cùng phương, do đó d và d' hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]\) \(=\left (\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right) \) \(= (6; 3 ; 0)\)
\(\overrightarrow{MM'} = (0; 1 ; 1)\).
Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}\) \(= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0\)
Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Cách khác:
Có hai VTCP của hai đường thẳng không cùng phương (cmt)
Xét hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 1 + t'\\2 + 2t = 3 - 2t'\\3t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\2t + 2t' = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\t + t' = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)
Vậy hai đường thẳng chéo nhau.
Xác định các VTCP của \(d\) và \(d'\), chứng minh 2 vector đó không cùng phương.
Sử dụng điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\) với \({\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\) lần lượt là VTCP của \(d, d'\) và \({M_1} \in d; {M_2} \in d'\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1; 2 ; 0)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-1; 2 ; 3)\).
Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(M'(1; 3 ; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}(1 ; -2; 0)\).
Dễ thấy \({\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\) không cùng phương, do đó d và d' hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]\) \(=\left (\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right) \) \(= (6; 3 ; 0)\)
\(\overrightarrow{MM'} = (0; 1 ; 1)\).
Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}\) \(= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0\)
Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Cách khác:
Có hai VTCP của hai đường thẳng không cùng phương (cmt)
Xét hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 1 + t'\\2 + 2t = 3 - 2t'\\3t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\2t + 2t' = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\t + t' = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)
Vậy hai đường thẳng chéo nhau.