Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Giải các phương trình sau:

Câu a​

a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)
Phương pháp giải:
Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: \(a^x=b\).
Lời giải chi tiết:
\({3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\) \(\Leftrightarrow {3^{\left( {x + 3} \right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right) + \left({{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left( {3 - 1} \right) + {5^{x + 3}}\left({3 - 5} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0\) \(\Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\) \(\Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}}\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1\) \(\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1={\left({\dfrac{3}{5}} \right)^{0}}\) \(\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3} \right\}\).

Câu b​

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t=5^x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
\({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {(5^{x})^2}-{6.5^x} + 5= 0\)
Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)).
Phương trình trở thành:
\({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0; 1} \right\}\).

Câu c​

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)
Phương pháp giải:
Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \).
Lời giải chi tiết:
\({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(16^x>0\) ta được:
\(\Leftrightarrow 4.\dfrac{{{9^x}}}{{{{16}^x}}} + \dfrac{{{{12}^x}}}{{{{16}^x}}} - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left({\dfrac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left({\dfrac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0\)
Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} (t > 0) \) ta được phương trình:
\(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4} \left( {tm} \right)\\t = - 1 \left({ktm} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} = \dfrac{3}{4} = {\left({\dfrac{3}{4}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { 1} \right\}\)

Câu d​

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)
Phương pháp giải:
Chuyển vế, đặt nhân tử chung.
Lời giải chi tiết:
\(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
\(\eqalign{
& lo{g_7}\left({x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}\left({x - 1} \right).{\log _7}x - {\log _7}x = 0\cr 
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr 
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1(loai) \hfill \cr 
x = 8(TM) \hfill \cr} \right. \cr}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

Câu e​

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)
Phương pháp giải:
Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Lời giải chi tiết:
\({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)
Điều kiện : \(x > 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{{3^{1/2}}}}x + {\log _{{3^{ - 1}}}}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow 2{\log _3}x = 6\\
\Leftrightarrow {\log _3}x = 3\\
\Leftrightarrow x = {3^3} = 27
\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

Câu g​

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
\(\log f\left( x \right) = \log g\left(x \right) \Leftrightarrow f\left(x \right) = g\left(x \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x > 1\)
Khi đó \(\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x\) \(\Rightarrow x + 8 = x\left( {x - 1} \right)\) \(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x =  - 2\left(L \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\).
Chú ý:
Phương trình \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left(x \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left(x \right)\\f\left(x \right) > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left(x \right)\\g\left(x \right) > 0\end{array} \right.\)
Do đó các em chỉ cần giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left(x \right)\) và giải một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) > 0\) (điều kiện nào đơn giản hơn thì ta giải).
Ta có thể trình bày lại câu d như sau:
Ta có:
\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0, x \ne 1 \hfill \cr 
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)