Google
Câu hỏi: Lập phương trình mặt phẳng \(( α)\) đi qua hai điểm \(A( 1; 0 ; 1), B(5; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta)\): \(2x - y + z - 7 = 0\).
Phương pháp giải
+) Mặt phẳng \((\alpha) \bot (\beta)\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)
+) Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua hai điểm \(A, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} , \overrightarrow {AB} } \right].\)
+) Sử dụng công thức lập phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {a; b; c} \right)\) có dạng: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left({y - {y_0}} \right) + c\left({z - {z_0}} \right) = 0.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1; 1} \right); \overrightarrow {AB} = \left({4; 2; 2} \right).\)
Theo đề bài ta có: \((\alpha) \bot (\beta) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua hai điểm \(A, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} , \overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&2\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&2\end{array}} \right|} \right) \\= \left({ - 4; 0; 8} \right) = - 4\left({1; 0; -2} \right). \)
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A(1; 0; 1)\) và nhận vecto \(\overrightarrow {{n_\alpha }} =\left( {1; 0; -2} \right)\) làm VTPT có phương trình: \(x-1-2(z-1)=0 \)
\(\Leftrightarrow x-2z+1=0.\)
+) Mặt phẳng \((\alpha) \bot (\beta)\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)
+) Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua hai điểm \(A, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} , \overrightarrow {AB} } \right].\)
+) Sử dụng công thức lập phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {a; b; c} \right)\) có dạng: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left({y - {y_0}} \right) + c\left({z - {z_0}} \right) = 0.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1; 1} \right); \overrightarrow {AB} = \left({4; 2; 2} \right).\)
Theo đề bài ta có: \((\alpha) \bot (\beta) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua hai điểm \(A, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} , \overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&2\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&2\end{array}} \right|} \right) \\= \left({ - 4; 0; 8} \right) = - 4\left({1; 0; -2} \right). \)
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A(1; 0; 1)\) và nhận vecto \(\overrightarrow {{n_\alpha }} =\left( {1; 0; -2} \right)\) làm VTPT có phương trình: \(x-1-2(z-1)=0 \)
\(\Leftrightarrow x-2z+1=0.\)