Google
Câu hỏi: Cho hình chóp \(S. ABCD\). Gọi \(A', B', C', D'\) theo thứ tự là trung điểm của \(SA, SB, SC, SD\). Tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S. A'B'C'D'\) và \(S. ABCD\) bằng:
(A) \({1 \over 2}\) (B) \({1 \over 4}\) (C) \({1 \over 8}\) (D) \({1 \over {16}}\)
(A) \({1 \over 2}\) (B) \({1 \over 4}\) (C) \({1 \over 8}\) (D) \({1 \over {16}}\)
Phương pháp giải
Sử dụng kết quả sau:
Cho khối chóp S. ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A', B', C'. Khi đó ta có: $\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$
Lưu ý công thức trên chỉ được phép dùng đối với chóp tam giác, khi không là chóp tam giác phải sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện trước khi sử dụng công thức.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({V_{S. A'B'C'D'}} = {V_{S. A'B'C'}} + {V_{S. A'C'D'}}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S. A'B'C'}}}}{{{V_{S. ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\\
\Rightarrow {V_{S. A'B'C'}} = \frac{1}{8}{V_{S. ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2}{V_{S. ABCD}} = \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S. A'C'D'}}}}{{{V_{S. ACD}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\\
\Rightarrow {V_{S. A'C'D'}} = \frac{1}{8}{V_{S. ACD}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2}{V_{S. ABCD}} = \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}}
\end{array}\)
\(\Rightarrow {V_{S. A'B'C'D'}} = {V_{S. A'B'C'}} + {V_{S. A'C'D'}} \) \(= \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}} + \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S. ABCD}}\)
Chọn (C).
Chú ý và sai lầm: KHÔNG ĐƯỢC sử dụng công thức trên như sau: \(\frac{{{V_{S. A'B'C'D'}}}}{{{V_{S. ABCD}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}\frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}}\), đây là công thức SAI.
Sử dụng kết quả sau:
Cho khối chóp S. ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A', B', C'. Khi đó ta có: $\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$
Lưu ý công thức trên chỉ được phép dùng đối với chóp tam giác, khi không là chóp tam giác phải sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện trước khi sử dụng công thức.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({V_{S. A'B'C'D'}} = {V_{S. A'B'C'}} + {V_{S. A'C'D'}}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S. A'B'C'}}}}{{{V_{S. ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\\
\Rightarrow {V_{S. A'B'C'}} = \frac{1}{8}{V_{S. ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2}{V_{S. ABCD}} = \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S. A'C'D'}}}}{{{V_{S. ACD}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\\
\Rightarrow {V_{S. A'C'D'}} = \frac{1}{8}{V_{S. ACD}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2}{V_{S. ABCD}} = \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}}
\end{array}\)
\(\Rightarrow {V_{S. A'B'C'D'}} = {V_{S. A'B'C'}} + {V_{S. A'C'D'}} \) \(= \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}} + \frac{1}{{16}}{V_{S. ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S. ABCD}}\)
Chọn (C).
Chú ý và sai lầm: KHÔNG ĐƯỢC sử dụng công thức trên như sau: \(\frac{{{V_{S. A'B'C'D'}}}}{{{V_{S. ABCD}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}\frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}}\), đây là công thức SAI.