Google
Câu hỏi: Giả sử \(AC\) là đường chéo lớn của hình bình hành \(ABCD.\) Từ \(C\), vẽ đường vuông góc \(CE\) với đường thẳng \(AB\), đường vuông góc \(CF\) với đường thẳng \(AD\) (\(E,F \) thuộc phần kéo dài của các cạnh \(AB\) và \(AD\)). Chứng minh rằng: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Dựng \(BG ⊥ AC.\)
Xét \(∆ BGA\) và \(∆ CEA\) có:
+) \(\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)
+) \(\widehat A\) chung
\( \Rightarrow ∆ BGA\) đồng dạng \(∆ CEA \) (g.g)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}\)
\(\Rightarrow AB.AE = AC.AG\) (1)
Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cặp góc so le trong)
Xét \(∆ BGC\) và \(∆ CFA\) có:
+) \(\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \)
+) \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cmt)
\(\Rightarrow ∆ BGC\) đồng dạng \(∆ CFA\) (g.g)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}\)
\(\Rightarrow BC.AF = AC.CG\)
Mà \(BC = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)
\(\Rightarrow AD.AF = AC.CG \) (2)
Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:
\(AB.AE + AD.AF\)\( = AC.AG + AC.CG\)
\( \Rightarrow AB.AE + AD.AF \)\( = AC\left( {AG + CG} \right)\)
Lại có: \(AG + CG = AC\) nên \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).
Sử dụng:
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Dựng \(BG ⊥ AC.\)
Xét \(∆ BGA\) và \(∆ CEA\) có:
+) \(\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)
+) \(\widehat A\) chung
\( \Rightarrow ∆ BGA\) đồng dạng \(∆ CEA \) (g.g)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}\)
\(\Rightarrow AB.AE = AC.AG\) (1)
Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cặp góc so le trong)
Xét \(∆ BGC\) và \(∆ CFA\) có:
+) \(\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \)
+) \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cmt)
\(\Rightarrow ∆ BGC\) đồng dạng \(∆ CFA\) (g.g)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}\)
\(\Rightarrow BC.AF = AC.CG\)
Mà \(BC = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)
\(\Rightarrow AD.AF = AC.CG \) (2)
Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:
\(AB.AE + AD.AF\)\( = AC.AG + AC.CG\)
\( \Rightarrow AB.AE + AD.AF \)\( = AC\left( {AG + CG} \right)\)
Lại có: \(AG + CG = AC\) nên \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).