Google
Câu hỏi: Biết\({4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\). Hãy tính: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\)
Phương pháp giải
Sử dụng khai triển hằng đẳng thức \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} \\= {\left({{2^x}} \right)^2} + {2.2^x}{. 2^{ - x}} + {\left({{2^{ - x}}} \right)^2}\\= {4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 23 + 2 = 25\\ \Rightarrow {\left({{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 25\\ \Rightarrow \left| {{2^x} + {2^{ - x}}} \right| = 5\end{array}\)
Mà \({2^x} > 0;{2^{ - x}} > 0,\forall x\) nên \({2^x} + {2^{ - x}} > 0\)
\(⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\).
Chú ý: Nhận thấy đề bài cho giả thiết có chứa \(4^x\) và \(4^{-x}\) nhưng biểu thức cần tính giá trị chỉ có \(2^x\) và \(2^{-x}\) nên ta cần bình phương biểu thức cần tính giá trị lên để làm xuất hiện \({4^x} + {4^{ - x}}\). Sau khi tính toán xong giá trị của \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2}\) ta lấy căn bậc hai và kết luận.
Sử dụng khai triển hằng đẳng thức \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} \\= {\left({{2^x}} \right)^2} + {2.2^x}{. 2^{ - x}} + {\left({{2^{ - x}}} \right)^2}\\= {4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 23 + 2 = 25\\ \Rightarrow {\left({{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 25\\ \Rightarrow \left| {{2^x} + {2^{ - x}}} \right| = 5\end{array}\)
Mà \({2^x} > 0;{2^{ - x}} > 0,\forall x\) nên \({2^x} + {2^{ - x}} > 0\)
\(⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\).
Chú ý: Nhận thấy đề bài cho giả thiết có chứa \(4^x\) và \(4^{-x}\) nhưng biểu thức cần tính giá trị chỉ có \(2^x\) và \(2^{-x}\) nên ta cần bình phương biểu thức cần tính giá trị lên để làm xuất hiện \({4^x} + {4^{ - x}}\). Sau khi tính toán xong giá trị của \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2}\) ta lấy căn bậc hai và kết luận.