Bài 5 trang 80 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5; 1 ; 3), B(1; 6 ; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6).\)

Câu a​

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(3\) điểm \(A, B\) và \(C\) có VTPT:  \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} } \right].\)
+) Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có VTPT  \(\overrightarrow n  = \left( {a; b; c} \right)\) có dạng:  \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left({y - {y_0}} \right) + c\left({z - {z_0}} \right) = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1; 3)\).
Ta có:: \(\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) \(= (-2 ; -1 ; -1).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_{\left( {ACD} \right)}}} =(2; 1; 1)\).
Phương trình \((ACD)\) có dạng: \(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\) hay \(2x + y + z - 14 = 0\).
Tương tự ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6; 4)\) và
\(\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right)\)
\(= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).\)
Chọn \(\overrightarrow{n_{(BCD)}}=(6; 5; 3)\) là VTPT của mặt phẳng \((BCD)\).
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng: \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\) hay \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).

Câu b​

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(( α)\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α)\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{AB} (-4; 5 ; -1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.
VTPT của  mặt phẳng \((α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right)\) \(= (10; 9 ; 5).\)
Phương trình mặt phẳng \(( α)\) có dạng : \(10\left( {x - 5} \right) + 9\left({y - 1} \right) + 5\left({z - 3} \right) = 0\) hay \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).