Bài 5 trang 56 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a​

a) \(\left ( \dfrac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}\) < \(\left ( \dfrac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\);
Phương pháp giải:
+) Đưa bài toán về dạng so sánh hai lũy thừa cùng cơ số: Với lũy thừa có cơ số lớn hơn $1$ thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì số đó lớn hơn.
Ngược lại, với lũy thừa có cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$ thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó nhỏ hơn.
+) Sử dụng công thức: $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}.B} .$
+) So sánh hai căn bậc hai: $a > b > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > \sqrt b .$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $2\sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} = \sqrt {20} ;$
$3\sqrt 2 = \sqrt {{3^2}.2} = \sqrt {18} .$
Vì $20 > 18 \Rightarrow \sqrt {20} > \sqrt {18} $
$\Leftrightarrow 2\sqrt 5 > 3\sqrt 2 .$
Lại có: $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ $ \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}$ (đpcm)

Câu b​

b) ${7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}.$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $6\sqrt 3 = \sqrt {{6^2}.3} = \sqrt {108} ;$
$3\sqrt 6 = \sqrt {{3^2}.6} = \sqrt {54} .$
Vì $108 > 54 \Rightarrow \sqrt {108} > \sqrt {54} $ $\Rightarrow 6\sqrt 3 > 3\sqrt 6 .$
Mà $7 > 1 \Rightarrow {7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}$ (đpcm)