Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).
Phương pháp giải
+) Dựng các điểm F và E.
+) Chứng minh tam giác CEF vuông tại E \(\Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF. EC\)
+) \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF. EC \) \(= \dfrac{1}{6}DF. EF. EC\)
+) Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.
Lời giải chi tiết
\(\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\)\(\Rightarrow BA\bot (ADC)\) \(\Rightarrow BA \bot CE\)
Mặt khác \(BD \bot (CEF) \Rightarrow BD \bot CE\).
Từ đó suy ra
\(CE \bot (ABD) \Rightarrow CE ⊥ EF, CE \bot AD\).
Vì tam giác \(ACD\) vuông cân, \(AC= CD= a\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Suy ra \(CE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \),
\(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} \) \(= \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CF\cdot BD = DC\cdot BC\) nên \(CF = \frac{{DC. BC}}{{BC}} = \frac{{a. A\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Từ đó suy ra
\(EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a\)
\(DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}\) \(=\sqrt{a^{2}-\dfrac{2}{3}a^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)
Từ đó suy ra \(S_{\Delta CEF}=\dfrac{1}{2}FE\cdot EC\) \(=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)
Vậy \(V_{D. CEF}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF\) \(=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{36}.\)
+) Dựng các điểm F và E.
+) Chứng minh tam giác CEF vuông tại E \(\Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF. EC\)
+) \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF. EC \) \(= \dfrac{1}{6}DF. EF. EC\)
+) Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.
Lời giải chi tiết
\(\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\)\(\Rightarrow BA\bot (ADC)\) \(\Rightarrow BA \bot CE\)
Mặt khác \(BD \bot (CEF) \Rightarrow BD \bot CE\).
Từ đó suy ra
\(CE \bot (ABD) \Rightarrow CE ⊥ EF, CE \bot AD\).
Vì tam giác \(ACD\) vuông cân, \(AC= CD= a\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Suy ra \(CE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \),
\(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} \) \(= \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CF\cdot BD = DC\cdot BC\) nên \(CF = \frac{{DC. BC}}{{BC}} = \frac{{a. A\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Từ đó suy ra
\(EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{2}{3}a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a\)
\(DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}\) \(=\sqrt{a^{2}-\dfrac{2}{3}a^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)
Từ đó suy ra \(S_{\Delta CEF}=\dfrac{1}{2}FE\cdot EC\) \(=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)
Vậy \(V_{D. CEF}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF\) \(=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^{3}}{36}.\)