Google
Câu hỏi: Tìm $a$ và $b$ để các cực trị của hàm số
$y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b$
đều là những số dương và $x_{0}=-\dfrac{5}{9}$ là điểm cực đại.
$y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b$
đều là những số dương và $x_{0}=-\dfrac{5}{9}$ là điểm cực đại.
Phương pháp giải
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại ${x_0} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( x_0 \right) = 0\\y''\left( x_0 \right) < 0\end{array} \right.$, từ đó tìm $a$.
- Thay $a$ vừa tìm được ở trên vào hàm số.
Tìm $b$ dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $ \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0$.
Lời giải chi tiết
Ta có: $y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9$, $y'' = 10{a^2}x + 4a$.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại ${x_0} = - \dfrac{5}{9}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a = - \dfrac{9}{5}\\a < 0,a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a = - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.$
Ta có: $y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9$ có $\Delta ' = 49{a^2} > 0$ với $a \ne 0$ nên phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} = - \dfrac{9}{{5a}}$.
Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $ \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0$.
Với $a = \dfrac{{81}}{{25}}$ thì ${x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} = - \dfrac{5}{9}$.
Do đó ${y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)$ $ = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} $ $- 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0$
$ \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}$
Với $a = - \dfrac{9}{5}$ thì ${x_1} = - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1$.
Do đó ${y_{CT}} = y\left(1 \right)$ $ = \dfrac{5}{3}.{\left({ - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{. 1^3} + 2.\left({ - \dfrac{9}{5}} \right){. 1^2} $ $- 9.1 + b > 0$
$ \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}$.
Vậy các giá trị $a, b$ cần tìm là: $\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.$.
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại ${x_0} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( x_0 \right) = 0\\y''\left( x_0 \right) < 0\end{array} \right.$, từ đó tìm $a$.
- Thay $a$ vừa tìm được ở trên vào hàm số.
Tìm $b$ dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $ \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0$.
Lời giải chi tiết
Ta có: $y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9$, $y'' = 10{a^2}x + 4a$.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại ${x_0} = - \dfrac{5}{9}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a = - \dfrac{9}{5}\\a < 0,a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a = - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.$
Ta có: $y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9$ có $\Delta ' = 49{a^2} > 0$ với $a \ne 0$ nên phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} = - \dfrac{9}{{5a}}$.
Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $ \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0$.
Với $a = \dfrac{{81}}{{25}}$ thì ${x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} = - \dfrac{5}{9}$.
Do đó ${y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)$ $ = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} $ $- 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0$
$ \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}$
Với $a = - \dfrac{9}{5}$ thì ${x_1} = - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1$.
Do đó ${y_{CT}} = y\left(1 \right)$ $ = \dfrac{5}{3}.{\left({ - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{. 1^3} + 2.\left({ - \dfrac{9}{5}} \right){. 1^2} $ $- 9.1 + b > 0$
$ \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}$.
Vậy các giá trị $a, b$ cần tìm là: $\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.$.