Google
Câu hỏi: Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: \(\frac{x}{{ - 3}} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).
b) Tìm tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).
b) Tìm tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C.
Lời giải chi tiết
a) Có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1:
(P) đi qua A, song song với hai đường thẳng d và BC.
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow v = \left( { - 3; - 1; 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; 4; 0} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left({ - 8; - 4; - 14} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
-8(x - 1) - 4(y - 2) - 14(z - 1) = 0 hay 4x + 2y + 7z - 15 = 0
Trường hợp 2:
(P) đi qua A, đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC, và song song với d.
Ta có: \(\overrightarrow {FA} = \left( {0; 1; 0} \right),\left[ {\overrightarrow {FA} ,\overrightarrow v } \right] = \left({2; 0; 3} \right)\)
Suy ra phương trình của (P) là:
2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 hay 2x + 3z - 5 = 0.
b) Gọi (Q) và (R) theo thứ tự là mặt phẳng trung trực của AB và BC.
Những điểm cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến Δ = (Q) ∩ (R).
(Q) đi qua trung điểm E(3/2; 1/2; 1) của AB và có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; 0} \right)\)
Do đó phương trình của (Q) là:
x - 3/2 - 3(y - 1/2) = 0 hay x - 3y = 0
(R) đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC và có \(\overrightarrow {{n_R}} = \overrightarrow {BC} = \left( { - 2; 4; 0} \right)\)
Do đó phương trình (R) là: x - 2y + 1 = 0
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {0; 0; - 2} \right)\)
Lấy D(-3; -1; 0) thuộc (Q) ∩ (R)
Suy ra Δ là đường thẳng đi qua D và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0; 0; 1} \right)\)
nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\)
a) Có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1:
(P) đi qua A, song song với hai đường thẳng d và BC.
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow v = \left( { - 3; - 1; 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; 4; 0} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left({ - 8; - 4; - 14} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
-8(x - 1) - 4(y - 2) - 14(z - 1) = 0 hay 4x + 2y + 7z - 15 = 0
Trường hợp 2:
(P) đi qua A, đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC, và song song với d.
Ta có: \(\overrightarrow {FA} = \left( {0; 1; 0} \right),\left[ {\overrightarrow {FA} ,\overrightarrow v } \right] = \left({2; 0; 3} \right)\)
Suy ra phương trình của (P) là:
2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 hay 2x + 3z - 5 = 0.
b) Gọi (Q) và (R) theo thứ tự là mặt phẳng trung trực của AB và BC.
Những điểm cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến Δ = (Q) ∩ (R).
(Q) đi qua trung điểm E(3/2; 1/2; 1) của AB và có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; 0} \right)\)
Do đó phương trình của (Q) là:
x - 3/2 - 3(y - 1/2) = 0 hay x - 3y = 0
(R) đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC và có \(\overrightarrow {{n_R}} = \overrightarrow {BC} = \left( { - 2; 4; 0} \right)\)
Do đó phương trình (R) là: x - 2y + 1 = 0
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {0; 0; - 2} \right)\)
Lấy D(-3; -1; 0) thuộc (Q) ∩ (R)
Suy ra Δ là đường thẳng đi qua D và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0; 0; 1} \right)\)
nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\)