Google
Câu hỏi: Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \(\overline{z}\) làm nghiệm
Phương pháp giải
Cách 1:
\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left({x - \overline z } \right) = 0\).
Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai.
Cách 2:
Tính \(S = z+\overline z, P = z.\overline z\), khi đó \(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \(\overline{z}\) làm nghiệm là
\(\begin{array}{l}
\left({x - z} \right)\left({x - \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x. Z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left({z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left({a + bi + a - bi} \right) + \left({a + bi} \right)\left({a - bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)
Cách 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\
z.\overline z = \left({a + bi} \right)\left({a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}
\end{array}\)
\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).
Cách 1:
\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left({x - \overline z } \right) = 0\).
Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai.
Cách 2:
Tính \(S = z+\overline z, P = z.\overline z\), khi đó \(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \(\overline{z}\) làm nghiệm là
\(\begin{array}{l}
\left({x - z} \right)\left({x - \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x. Z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left({z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left({a + bi + a - bi} \right) + \left({a + bi} \right)\left({a - bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)
Cách 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\
z.\overline z = \left({a + bi} \right)\left({a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}
\end{array}\)
\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).