Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình chữ nhật OACB và OA’C’B’ như hình 107. Biết \(A(a; 0), {A'}({a'} ; 0) ,\) \(B(0; b) , {B'}(0 ; {b'})\) (a, a’, b, b; là những số dương, \(a \ne {a'} , b \ne {b'}\)).
a) Viết phương trình các đường thẳng AB’ và A’B.
b) Tìm liên hệ giữa để hai đường thẳng AB’ và A’B cắt nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng đó.
c) Chứng minh rằng ba điểm I, C, C’ thẳng hàng.
d) Với điều kiện nào của a, a’, b, b'; thì C là trung điểm của IC’?
a) Viết phương trình các đường thẳng AB’ và A’B.
b) Tìm liên hệ giữa để hai đường thẳng AB’ và A’B cắt nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng đó.
c) Chứng minh rằng ba điểm I, C, C’ thẳng hàng.
d) Với điều kiện nào của a, a’, b, b'; thì C là trung điểm của IC’?
Lời giải chi tiết
a) $*$ Đường thẳng $\mathrm{AB}$ ' đi qua $\mathrm{A}(\mathrm{a} ; 0)$ và $\mathrm{B}^{\prime}\left(0, \mathrm{~b}^{\prime}\right)$
nên ta có phương trình đoạn chắn là:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b^{\prime}}=1$ hay $b^{\prime} x+$ ay $-a b^{\prime}=0$
$*$ Đường thẳng $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ đi qua $\mathrm{A}^{\prime}\left(\mathrm{a}^{\prime} ; 0\right)$ và $\mathrm{B}(0, \mathrm{~b})$
nên ta có phương trình đoạn chắn là:
$\frac{x}{a^{\prime}}+\frac{y}{b}=1$ hay $b x+a^{\prime} y-a^{\prime} b=0$
b)
$*$ Để hai đường thẳng $\mathrm{AB}$ ' và $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ cắt nhau khi và chỉ khi:
$\frac{b^{\prime}}{b} \neq \frac{a}{a^{\prime}}$ hay a' $b^{\prime}-a b \neq 0$.
* Tọa độ giao điểm I của $\mathrm{AB}$ ' và $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}b^{\prime} x+a y-a b^{\prime}=0 \\ b x+a^{\prime} y-a^{\prime} b=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}b b^{\prime} x+a b y-a b b^{\prime}=0 \\ b b^{\prime} x+a^{\prime} b^{\prime} y-a^{\prime} b b^{\prime}=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\left(a b-a^{\prime} b^{\prime}\right) y-a b b^{\prime}+a^{\prime} b b^{\prime}=0 \\ b x+a^{\prime} y-a^{\prime} b=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a b b^{\prime}-a^{\prime} b b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}} \\ x=\frac{a a^{\prime} b-a a^{\prime} b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}}\end{array}\right.$
$\Rightarrow I\left(\frac{a a^{\prime} b-a a^{\prime} b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}} ; \frac{a b b^{\prime}-a^{\prime} b b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}}\right)$
c) Ta có: $\mathrm{C}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) ; \mathrm{C}^{\prime}\left(\mathrm{a}^{\prime} ; \mathrm{b}^{\prime}\right)$
$\overrightarrow{C I}\left(\frac{a b\left(a-a^{\prime}\right)}{a^{\prime} b^{\prime}-a b} ; \frac{a b\left(b-b^{\prime}\right)}{a^{\prime} b^{\prime}-a b}\right)$
$\overrightarrow{C C^{\prime}}=\left(a^{\prime}-a ; b^{\prime}-b\right) \Rightarrow \overrightarrow{C I}=\frac{-a b}{a^{\prime} b^{\prime}-a b} \overrightarrow{C C^{\prime}}$ (1)
Suy ra ba điểm $\mathrm{C}$, I và $\mathrm{C}$ ' thằng hàng.
d) C là trung điểm IC' .
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {CI} + \overrightarrow {C{C'}} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = - \overrightarrow {C{C'}} \) \(\Leftrightarrow {{ab} \over {{a'}{b'} - ab}} = 1 \Leftrightarrow {a'}{b'} = 2ab\)
a) $*$ Đường thẳng $\mathrm{AB}$ ' đi qua $\mathrm{A}(\mathrm{a} ; 0)$ và $\mathrm{B}^{\prime}\left(0, \mathrm{~b}^{\prime}\right)$
nên ta có phương trình đoạn chắn là:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b^{\prime}}=1$ hay $b^{\prime} x+$ ay $-a b^{\prime}=0$
$*$ Đường thẳng $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ đi qua $\mathrm{A}^{\prime}\left(\mathrm{a}^{\prime} ; 0\right)$ và $\mathrm{B}(0, \mathrm{~b})$
nên ta có phương trình đoạn chắn là:
$\frac{x}{a^{\prime}}+\frac{y}{b}=1$ hay $b x+a^{\prime} y-a^{\prime} b=0$
b)
$*$ Để hai đường thẳng $\mathrm{AB}$ ' và $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ cắt nhau khi và chỉ khi:
$\frac{b^{\prime}}{b} \neq \frac{a}{a^{\prime}}$ hay a' $b^{\prime}-a b \neq 0$.
* Tọa độ giao điểm I của $\mathrm{AB}$ ' và $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}b^{\prime} x+a y-a b^{\prime}=0 \\ b x+a^{\prime} y-a^{\prime} b=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}b b^{\prime} x+a b y-a b b^{\prime}=0 \\ b b^{\prime} x+a^{\prime} b^{\prime} y-a^{\prime} b b^{\prime}=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\left(a b-a^{\prime} b^{\prime}\right) y-a b b^{\prime}+a^{\prime} b b^{\prime}=0 \\ b x+a^{\prime} y-a^{\prime} b=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a b b^{\prime}-a^{\prime} b b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}} \\ x=\frac{a a^{\prime} b-a a^{\prime} b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}}\end{array}\right.$
$\Rightarrow I\left(\frac{a a^{\prime} b-a a^{\prime} b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}} ; \frac{a b b^{\prime}-a^{\prime} b b^{\prime}}{a b-a^{\prime} b^{\prime}}\right)$
c) Ta có: $\mathrm{C}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) ; \mathrm{C}^{\prime}\left(\mathrm{a}^{\prime} ; \mathrm{b}^{\prime}\right)$
$\overrightarrow{C I}\left(\frac{a b\left(a-a^{\prime}\right)}{a^{\prime} b^{\prime}-a b} ; \frac{a b\left(b-b^{\prime}\right)}{a^{\prime} b^{\prime}-a b}\right)$
$\overrightarrow{C C^{\prime}}=\left(a^{\prime}-a ; b^{\prime}-b\right) \Rightarrow \overrightarrow{C I}=\frac{-a b}{a^{\prime} b^{\prime}-a b} \overrightarrow{C C^{\prime}}$ (1)
Suy ra ba điểm $\mathrm{C}$, I và $\mathrm{C}$ ' thằng hàng.
d) C là trung điểm IC' .
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {CI} + \overrightarrow {C{C'}} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = - \overrightarrow {C{C'}} \) \(\Leftrightarrow {{ab} \over {{a'}{b'} - ab}} = 1 \Leftrightarrow {a'}{b'} = 2ab\)