Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \)
và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3}, R > 0} \right)\)
Gọi Là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H. 63).

Câu a​

a) Tính thể tích của $\vartheta $ Theo \(α\) và \(R\).
Phương pháp giải:
Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, MP\) và trục hoành.
+) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay Cần tính.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \) \(\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)
\(\Rightarrow \) Điểm M thuộc đường thẳng \(y=x.\tan \alpha .\)
Mà O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y=x.\tan \alpha .\)
Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx} \\= \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\ = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left({\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right).\left({dvtt} \right).\end{array}\)
Cách khác:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP = R\cos \alpha \\MP = R\sin \alpha \end{array} \right.\)
Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = MP = R\sin \alpha \) và chiều cao \(h = OP = R\cos \alpha \)
Thể tích khối nón là:
\(\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\
= \frac{1}{3}\pi {\left({R\sin \alpha } \right)^2}. R\cos \alpha \\
= \frac{1}{3}\pi {R^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \\
= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left({1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\cos \alpha \\
= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left({\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right)
\end{array}\)

Câu b​

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích $\vartheta $ Là lớn nhất.
Phương pháp giải:
Tính được thể tích của khối tròn xoay $\vartheta $ theo \(\alpha.\) Khảo sát hàm số \(V=V(\alpha)\) để tìm thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \(V (\alpha) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left({\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right).\)
Đặt \(t = \cos \alpha .\)
Với \(\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{2}; 1} \right].\)
Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left({t - {t^3}} \right)\) trên \(\left[ {\dfrac{1}{2}; 1} \right].\)
Có: \(V'\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left({1 - 3{t^2}} \right) \)
\(\Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)\(\Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \left({ktm} \right)\end{array} \right..\)
Ta có bảng biến thiên:

\(\Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \) \(\Leftrightarrow \alpha = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy thể tích khối $\vartheta $ lớn nhất khi \(\alpha = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)