Bài 4 trang 80 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Lập phương trình mặt phẳng :

Câu a​

a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4 ; -1; 2)\);
Phương pháp giải:
+) Mặt phẳng \((P)\) chứa các vecto  \(\overrightarrow u ; \overrightarrow v  \Rightarrow \) VTPT của \((P)\) là:  \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right].\)
+) Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có VTPT  \(\overrightarrow n  = \left( {a; b; c} \right)\) có dạng:  \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left({y - {y_0}} \right) + c\left({z - {z_0}} \right) = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \((α)\) là mặt phẳng qua \(P\) và chứa trục \(Ox\), thì \((α)\) qua điểm \(O(0; 0 ; 0)\) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  \bot \overrightarrow {OP} ,\overrightarrow {{n_{\left(\alpha  \right)}}}  \bot \overrightarrow i \).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ]  \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\0&0\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\0&1\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|} \right)\) \(=(0; 2 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\).
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(0\left( {x - 0} \right) + 2\left({y - 0} \right) + 1.\left({z - 0} \right) = 0\) hay \(2y + z = 0\).

Câu b​

b) Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1; 4 ;-3)\);
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((β)\) qua điểm \(Q(1; 4 ; -3)\) và chứa trục \(Oy\) thì \((β)\) qua điểm \(O( 0; 0 ; 0)\) có \(\overrightarrow{OQ} (1; 4 ; -3)\) và \(\overrightarrow{j}(0; 1 ; 0)\) là cặp vectơ chỉ phương.
Ta có VTPT của \((β)\) là:\(\overrightarrow {{n_\beta }} \) \(= \left[ {\overrightarrow {OQ} , \overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 3}\\1&0\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&0\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( {3; 0; 1} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \((β)\) có dạng : \(3\left( {x - 0} \right) + 0\left({y - 0} \right) + 1\left({z - 0} \right) = 0\) hay \(3x + z = 0\).

Câu c​

c) Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3 ; -4; 7)\);
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((ɣ)\) qua điểm \(R(3 ; -4; 7)\) và chứa trục \(Oz\) nên nó đi qua \(O(0; 0; 0)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow{OR}(3 ; -4; 7)\) và \(\overrightarrow{k}(0; 0 ; 1)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OR} , \overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&7\\0&1\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}7&3\\1&0\end{array}} \right|; \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\0&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left({ - 4; - 3; 0} \right) \) \(= - \left( {4; 3; 0} \right).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_\gamma }} =\left( {4; 3; 0} \right)\), phương trình mặt phẳng \((ɣ)\) có dạng: \(4\left( {x - 0} \right) + 3\left({y - 0} \right) + 0\left({z - 0} \right) = 0\) hay \(4x + 3y = 0\).