Bài 4 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác ABC.

Câu a​

Tam giác ABC có tính chất gì nếu \({a^2} = {{{b^3} + {c^3} - {a^3}} \over {b + c - a}}\)?
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $a^{2}=\frac{b^{3}+c^{3}-a^{3}}{b+c-a}$
$\Leftrightarrow a^{2} b+a^{2} c-a^{3}=b^{3}+c^{3}-a^{3}$
$\Leftrightarrow a^{2} b+a^{2} c=b^{3}+c^{3}$
$\Leftrightarrow a^{2}(b+c)-\left(b^{3}+c^{3}\right)=0$
$\Leftrightarrow a^{2}(b+c)-(b+c) \cdot\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow(b+c) \cdot\left(a^{2}-b^{2}+b c-c^{2}\right)=0(*)$
Vì $b>0$ và $c>0$ nên $b+c>0$
Từ (*) suy ra:
$
a^{2}-b^{2}+b c-c^{2}=0
$
hay $a^{2}=b^{2}-b c+c^{2}$ (1)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:
$
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A
$ (2)
* Từ (1) và (2) suy ra:
$
\begin{array}{l}
b^{2}-b c+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A \\
\Leftrightarrow-b c=-2 b c \cos A \\
\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \widehat{A}=60^{\circ}
\end{array}
$
Vậy tam giác $\mathrm{ABC}$ có góc A bằng $60^{\circ} .$

Câu b​

Biết \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\) , chứng minh rằng \(2\sin A = \sin B + \sin C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(S = {1 \over 2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a} ; S = {1 \over 2}b{h_b}\)
\(\Rightarrow {h_b} = {{2S} \over b} ; {h_c} = {{2S} \over c}\) .
Do đó
\(\eqalign{
& {2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\cr & \Leftrightarrow \frac{2}{{\frac{{2S}}{a}}} = \frac{1}{{\frac{{2S}}{b}}} + \frac{1}{{\frac{{2S}}{c}}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{2a}}{{2S}} = \frac{b}{{2S}} + \frac{c}{{2S}}\cr & \Leftrightarrow 2a = b + c \cr
& \Leftrightarrow 2.2R\sin A = 2R\sin B + 2R\sin C \cr
& \Leftrightarrow 2\sin A = \sin B + \sin C \cr} \)
(Do \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2R\sin A\\b = 2R\sin B\\c = 2R\sin C\end{array} \right.\))