Google
Câu hỏi: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
Phương pháp giải:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi \(\overrightarrow a ; \overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của d và d', \({M_1} \in d, {M_2} \in d'\).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} \\M \in d, M \notin d'\end{array} \right. \).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau: \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M_1( -3 ; -2; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2; 3 ; 4)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M_2( 5 ; -1; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4; 1)\).
Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}&\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left({19; 2; - 11} \right)\) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8; 1 ; 14) \)
Mà \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.14) = 0\) nên \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
Cách khác:
Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có \(2t = 6 => t = 3\), thay vào (1) có \(t' = -2\).
Từ đó \(d\) và \(d'\) có điểm chung duy nhất \(M(3; 7 ; 18)\). Do đó d và d' cắt nhau tại M.
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}(1; 1 ; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}(2; 2 ; -2)\) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(M(1; 2 ; 3) ∈d\), thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình \(d'\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 = - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = \frac{3}{2}\\t' = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)
Vậy \(M \notin d'\) nên \(d\) và \(d'\) song song.
Câu a
a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;Phương pháp giải:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi \(\overrightarrow a ; \overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của d và d', \({M_1} \in d, {M_2} \in d'\).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} \\M \in d, M \notin d'\end{array} \right. \).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau: \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M_1( -3 ; -2; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2; 3 ; 4)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M_2( 5 ; -1; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4; 1)\).
Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}&\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left({19; 2; - 11} \right)\) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8; 1 ; 14) \)
Mà \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.14) = 0\) nên \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
Cách khác:
Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có \(2t = 6 => t = 3\), thay vào (1) có \(t' = -2\).
Từ đó \(d\) và \(d'\) có điểm chung duy nhất \(M(3; 7 ; 18)\). Do đó d và d' cắt nhau tại M.
Câu b
b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và d': \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}(1; 1 ; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}(2; 2 ; -2)\) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(M(1; 2 ; 3) ∈d\), thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình \(d'\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 = - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = \frac{3}{2}\\t' = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)
Vậy \(M \notin d'\) nên \(d\) và \(d'\) song song.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!