Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{\left | x \right |}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Phương pháp giải
- Tính $ \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ suy ra không tồn tại.
- Chứng minh $f\left(x\right)\ge f\left(0\right)$ với mọi $x\in R$.
Lời giải chi tiết
Ta có:
$\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x khi x \ge 0\\\sqrt { - x} khi x < 0\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{{ - {{\left( {\sqrt { - x} } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt { - x} }} = - \infty \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}
\end{array}$
$\Rightarrow$ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại $x = 0$.
Dễ thấy $f\left(x\right)=\sqrt {\left| x \right|}\ge 0$ với mọi $x\in R$ và $f\left(0\right)=0$ nên $x=0$ chính là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tính $ \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ suy ra không tồn tại.
- Chứng minh $f\left(x\right)\ge f\left(0\right)$ với mọi $x\in R$.
Lời giải chi tiết
Ta có:
$\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x khi x \ge 0\\\sqrt { - x} khi x < 0\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{{ - {{\left( {\sqrt { - x} } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt { - x} }} = - \infty \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}
\end{array}$
$\Rightarrow$ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại $x = 0$.
Dễ thấy $f\left(x\right)=\sqrt {\left| x \right|}\ge 0$ với mọi $x\in R$ và $f\left(0\right)=0$ nên $x=0$ chính là điểm cực tiểu của hàm số.