Bài 28 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tứ giác . Chứng minh rằng

Câu a

Có một điểm duy nhất sao cho . Điểm như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm . Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi là trọng tâm của từ giác .
Lời giải chi tiết:

+) Chứng minh tồn tại:
Gọi là điểm cố định bất kì, ta có

Do O, A, B, C, D xác định nên được xác định.
+) Chứng minh duy nhất:
Giả sử tồn tại điểm sao cho .
Khi đó,

Vậy tồn tại duy nhất 1 điểm G thỏa mãn

Câu b

Trọng tâm là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.
Lời giải chi tiết:

Gọi lần lượt la trung điểm của ta có:


 là trung điểm
Tương tự, ta gọi lần lượt là trung điểm của ta có

 là trung điểm
Tương tự, ta cũng chứng minh được là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh BC và AD.

Câu c

Trọng tâm nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
Lời giải chi tiết:

Gọi là trọng tâm của tam giác , ta có

Do đó thẳng hàng.
Các trường hợp còn lại làm tương tự.
Vậy trọng tâm nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.