Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(G\). Chứng minh rằng
Lời giải chi tiết:
Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\)
Theo giả thiết, \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} + \left({\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) = \overrightarrow {0} \cr& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \cr&\Rightarrow G \equiv {G_1} \cr} \)
Cách khác:
Gọi M là trung điểm BC ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \end{array}\)
Do đó A, G, M thẳng hàng; G nằm giữa A, M và \(AG = 2GM \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)
Vậy G là trọng tâm tam giác.
Lời giải chi tiết:
Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left({\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \cr
& = {1 \over 3}\left({3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) \cr& = \frac{1}{3}\left({3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow 0 } \right)= \overrightarrow {O{G_1}} \cr& \Rightarrow G \equiv {G_1} \cr} \)
Cách khác:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} + \left({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Vậy G là trọng tâm tam giác (theo câu a).
Câu a
Nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)Lời giải chi tiết:
Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\)
Theo giả thiết, \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} + \left({\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) = \overrightarrow {0} \cr& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \cr&\Rightarrow G \equiv {G_1} \cr} \)
Cách khác:
Gọi M là trung điểm BC ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \end{array}\)
Do đó A, G, M thẳng hàng; G nằm giữa A, M và \(AG = 2GM \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)
Vậy G là trọng tâm tam giác.
Câu b
Nếu có điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).Lời giải chi tiết:
Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left({\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \cr
& = {1 \over 3}\left({3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) \cr& = \frac{1}{3}\left({3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow 0 } \right)= \overrightarrow {O{G_1}} \cr& \Rightarrow G \equiv {G_1} \cr} \)
Cách khác:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} + \left({\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Vậy G là trọng tâm tam giác (theo câu a).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!