Google
Câu hỏi: Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Lời giải chi tiết
Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \cr&= \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cr&= \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)
Vậy \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Cách khác:
Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left({\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left({\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \left(1 \right)\end{array}\)
(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \))
Lại có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left({\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left({\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \left(2 \right)\end{array}\)
Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \cr&= \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cr&= \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left({\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) \cr&+ \left({\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)
Vậy \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Cách khác:
Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left({\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left({\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \left(1 \right)\end{array}\)
(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \))
Lại có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left({\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left({\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \left(2 \right)\end{array}\)
Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)