Bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Giải các bất phương trình lôgarit:

Câu a​

a) $lo{g_8}\left( {4 - {\rm{ }}2x} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}2$ ;
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Giải phương trình logarit cơ bản: ${\log _a}x \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x \ge {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\0 < x \le {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right.$.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: $4 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 2$
$\begin{array}{l} {\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\\\Leftrightarrow 4 - 2x \ge 8^2=64 \left(Do 8>1\right)\\\Leftrightarrow 2x \le - 60\\\Leftrightarrow x \le - 30\end{array}$.
Kết hợp điều kiện $x<2$ ta có $x \le -30$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ;-30} \right]$

Câu b​

b) $log_{\dfrac{1}{5}}\left(3x - 5\right)$ > $log_{\dfrac{1}{5}}\left(x +1\right)$ ;
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Giải phương trình logarit cơ bản: ${\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f\left(x \right) > g\left(x \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f\left(x \right) < g\left(x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$.
Lời giải chi tiết:
ĐK:
$\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{3}\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}$
$\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{5}}}\left({3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left({x + 1} \right)\\\Leftrightarrow 3x - 5 < x + 1 (Do {{1}\over{5}}<1)\\\Leftrightarrow 2x < 6\\\Leftrightarrow x < 3\end{array}$.
Kết hợp điều kiện ta có: ${{5} \over {3}} <x<3$.

Câu c​

c) $lo{g_{0,2}}x{\rm{ }}-{\rm{ }}lo{g_5}\left({x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3$ ;
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Đưa về cùng logarit cơ số 0,2, sử dụng công thức cộng các logarit cùng cơ số: ${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left({xy} \right)$ \left(giả sử các biểu thức là có nghĩa\right).
Đưa về bất phương trình logarit cơ bản:
${\log _a}f\left(x \right) < {\log _a}g\left(x \right) $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < f\left( x \right) < g\left( x \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: $x > 2$. Chú ý rằng
\(log_5(x- 2) = log_{\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}}(x- 2) \) \(= -log_{0,2}(x- 2)\)
Nên bất phương trình đã cho tương đương với
$lo{g_{0,2}}x{\rm{ }} + lo{g_{0,2}}\left( {x - {\rm{ }}2} \right) < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3$
$⇔lo{g_{0,2}}x\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3 $
$\Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}3$
$⇔ x^2- 2x – 3 > 0 $
$⇔ \left(x - 3\right) \left(x+ 1\right) > 0$
$⇔ x - 3 > 0 ⇔ x > 3$ (do $x > 2$ ).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ S = \left( 3; +\infty \right) $.
Cách khác:
Có thể đưa về cùng cơ số 5 như sau:
$\begin{aligned} & \log _{0,2} x-\log _{5}(x-2)<\log _{0,2} 3 \\ \Leftrightarrow & \log _{5^{-1}} x-\log _{5}(x-2)<\log _{5^{-1}} 3 \\ \Leftrightarrow &-\log _{5} x-\log _{5}(x-2)<-\log _{5} 3 \\ \Leftrightarrow & \log _{5} x+\log _{5}(x-2)>\log _{5} 3 \\ & \Leftrightarrow \log _{5}[x(x-2)]>\log _{5} 3 \\ & \Leftrightarrow x(x-2)>3 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-2 x-3>0 \\ & \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x>3 \\ x<-1\end{array}\right.\end{aligned}$

Kết hợp với điều kiện xác định được x > 3.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm (3; +∞).

Câu d​

d) $log_{3}^{2}x - 5log_3 x + 6 ≤ 0$.
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: $t = log_3x$, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
ĐK: $x>0$.
Đặt $t = log_3x$ ta được bất phương trình
$t^2– 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3$.
$⇔2 ≤ log_3x ≤3 ⇔3^2 ≤ x ≤ 3^3 $ $ ⇔ 9 ≤ x ≤ 27$.
Kết hợp điều kiện ta có $9 ≤ x ≤ 27$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ S = \left[9;27 \right] $.