Google
Câu hỏi: Cho tam giác vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN (h. 106).
a) Biểu thị các vectơ theo hai vectơ \(\overrightarrow {AM} , \overrightarrow {CN} \) và \(\overrightarrow {AB} ; \overrightarrow {AC} \) .
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho \(AM \bot CN\).
a) Biểu thị các vectơ theo hai vectơ \(\overrightarrow {AM} , \overrightarrow {CN} \) và \(\overrightarrow {AB} ; \overrightarrow {AC} \) .
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho \(AM \bot CN\).
Lời giải chi tiết
A) Ta có:
\(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} = 2(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \)
Mặt khác \(\overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {NA} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AN} \)\(\Rightarrow 3\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AN} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} = 2\left({\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CM} } \right)\\
= 2\overrightarrow {CB} - 2\overrightarrow {CM} \\
\Rightarrow 3\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} \\
= \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} \\
= \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\left({\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\\
= \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)
b) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CN} = 0\cr& \Leftrightarrow \left({{2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} } \right)\left({{1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) \cr& = 0 \cr
& \Leftrightarrow {2 \over 9}A{B^2} - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {1 \over 9}\overrightarrow {AC} . \overrightarrow {AB} - {1 \over 3}A{C^2}\cr& = 0 \cr
& \Leftrightarrow {2 \over 9}{c^2} - \frac{2}{3}. 0 + \frac{1}{9}. 0- {1 \over 3}{b^2} = 0 \cr
& \ \Leftrightarrow 2{c^2} = 3{b^2} \cr} \)
A) Ta có:
\(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} = 2(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \)
Mặt khác \(\overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {NA} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AN} \)\(\Rightarrow 3\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AN} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} = 2\left({\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CM} } \right)\\
= 2\overrightarrow {CB} - 2\overrightarrow {CM} \\
\Rightarrow 3\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} \\
= \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} \\
= \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\left({\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\\
= \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)
b) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CN} = 0\cr& \Leftrightarrow \left({{2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} } \right)\left({{1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) \cr& = 0 \cr
& \Leftrightarrow {2 \over 9}A{B^2} - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {1 \over 9}\overrightarrow {AC} . \overrightarrow {AB} - {1 \over 3}A{C^2}\cr& = 0 \cr
& \Leftrightarrow {2 \over 9}{c^2} - \frac{2}{3}. 0 + \frac{1}{9}. 0- {1 \over 3}{b^2} = 0 \cr
& \ \Leftrightarrow 2{c^2} = 3{b^2} \cr} \)