The Collectors

Bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2} + 1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm \(M(2; 5)\) và trục \(Oy\).
Phương pháp giải
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0; y_0)\) theo công thức: \(y=y'(x_0) (x-x_0)+y_0.\)
+) Tìm nghiệm \(x_1; x_2\) của phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số bài cho và tiếp tuyến vừa tìm được.
+) Dựa vào công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng cần tìm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y'=2x.\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^2+1\) tại \(M(2; 5)\) là: \(y = y'\left( 2 \right)\left({x - 2} \right) + 5 = 4\left({x - 2} \right) + 5 = 4x - 3.\)
Phương trình tiếp tuyến là \(y = 4x - 3\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến là: \({x^2} + 1 =4x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4= 0 \\ ⇔ (x-2)^2=0 ⇔ x = 2.\)
Do đó diện tích phải tìm là:
\(S=\int_{0}^{2}|x^{2}+1 -4x+3|dx \) \(=\int_{0}^{2}(x^{2}-4x+4)dx\)
\(=\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_0^2 \)
\(=\dfrac{8}{3} (đvdt)\).
 

Quảng cáo

Back
Top