Google
Câu hỏi: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(α\) là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng:
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD.\sin a.\)
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD.\sin a.\)
Phương pháp giải
Sử dụng: \(\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) với tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (hình vẽ)
Diện tích tam giác ABC có đường cao AH:
\(S = \dfrac{1}{2}AH.BC.\)
Lời giải chi tiết
Giả sử hai đường chéo \( AC, BD\) cắt nhau tại \(I\), \(\widehat {AIB} = \alpha \) là góc nhọn.
Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABD\) và đường cao \(CK\) của tam giác \(CBD\).
Xét tam gác AHI vuông tại H ta có: \(\sin \widehat {AIH} = \dfrac{{AH}}{{AI}} \Rightarrow AH = AI.\sin \alpha \)
Lại có \(\widehat {DIC} = \widehat {AIB} = \alpha \) (hai góc đối đỉnh)
Xét tam gác CKI vuông tại I ta có: \(\sin \widehat {CIK} = \dfrac{{CK}}{{CI}} \Rightarrow CK = CI.\sin \alpha \)
Diện tích tam giác \(ABD\) là \({S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH,\)
Diện tích tam giác \(CBD\) là: \({S_{CBD}} = \dfrac{1}{ 2}BD.CK.\)
Từ đó diện tích \(S\) của tứ giác\( ABCD\) là:
\(\eqalign{
& S = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} \cr
& = {1 \over 2}BD.(AH + CK) \cr & = {1 \over 2}BD.(AI.\sin \alpha + CI.\sin \alpha) \cr
& = {1 \over 2}BD.(AI + CI).\sin \alpha \cr
& = {1 \over 2}{\rm{BC}}{\rm{.AC.s}}in\alpha \cr} \)
Sử dụng: \(\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) với tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (hình vẽ)
Diện tích tam giác ABC có đường cao AH:
\(S = \dfrac{1}{2}AH.BC.\)
Lời giải chi tiết
Giả sử hai đường chéo \( AC, BD\) cắt nhau tại \(I\), \(\widehat {AIB} = \alpha \) là góc nhọn.
Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABD\) và đường cao \(CK\) của tam giác \(CBD\).
Xét tam gác AHI vuông tại H ta có: \(\sin \widehat {AIH} = \dfrac{{AH}}{{AI}} \Rightarrow AH = AI.\sin \alpha \)
Lại có \(\widehat {DIC} = \widehat {AIB} = \alpha \) (hai góc đối đỉnh)
Xét tam gác CKI vuông tại I ta có: \(\sin \widehat {CIK} = \dfrac{{CK}}{{CI}} \Rightarrow CK = CI.\sin \alpha \)
Diện tích tam giác \(ABD\) là \({S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH,\)
Diện tích tam giác \(CBD\) là: \({S_{CBD}} = \dfrac{1}{ 2}BD.CK.\)
Từ đó diện tích \(S\) của tứ giác\( ABCD\) là:
\(\eqalign{
& S = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} \cr
& = {1 \over 2}BD.(AH + CK) \cr & = {1 \over 2}BD.(AI.\sin \alpha + CI.\sin \alpha) \cr
& = {1 \over 2}BD.(AI + CI).\sin \alpha \cr
& = {1 \over 2}{\rm{BC}}{\rm{.AC.s}}in\alpha \cr} \)