Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(\displaystyle r\). Gọi \(\displaystyle O, O'\) là tâm của hai đáy với \(\displaystyle OO' = 2r\). Một mặt cầu \(\displaystyle (S)\) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại \(\displaystyle O\) và \(\displaystyle O'\). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
(B) Diện tích mặt cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) diện tích toàn phần của hình trụ.
(C) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {3 \over 4}\) thể tích khối trụ.
(D) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) thể tích khối trụ.
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
(B) Diện tích mặt cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) diện tích toàn phần của hình trụ.
(C) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {3 \over 4}\) thể tích khối trụ.
(D) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) thể tích khối trụ.
Phương pháp giải
Một mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại \(O\) và \(O'\) có đường kính bằng \(OO'\), từ đó suy ra bán kính \(R\) của khối cầu \((S)\) và sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: \(S = 4\pi {R^2}; V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ \(S = 2\pi Rh; V = \pi {R^2}h\) và so sánh.
Lời giải chi tiết
Mặt cầu có đường kính \(\displaystyle 2r\) nên có bán kính là \(\displaystyle r\) và có diện tích:
\(\displaystyle S = 4\pi {r^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\)
Mặt trụ có bán kính \(\displaystyle r\) và chiều cao \(\displaystyle 2r\) nên có:
\(\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi. R. 2r = 4\pi {r^2}\);
\(\displaystyle {S_{tp}}=S_{xq}+S_{2d}=4\pi {r^2} + 2\pi r^2 = 6\pi {r^2}\);
\(\displaystyle V =\pi r^2h=\pi. R. 2r= 2\pi {r^3}\).
Do đó A, B, D đúng.
Chọn (C).
Một mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại \(O\) và \(O'\) có đường kính bằng \(OO'\), từ đó suy ra bán kính \(R\) của khối cầu \((S)\) và sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: \(S = 4\pi {R^2}; V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ \(S = 2\pi Rh; V = \pi {R^2}h\) và so sánh.
Lời giải chi tiết
Mặt cầu có đường kính \(\displaystyle 2r\) nên có bán kính là \(\displaystyle r\) và có diện tích:
\(\displaystyle S = 4\pi {r^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\)
Mặt trụ có bán kính \(\displaystyle r\) và chiều cao \(\displaystyle 2r\) nên có:
\(\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi. R. 2r = 4\pi {r^2}\);
\(\displaystyle {S_{tp}}=S_{xq}+S_{2d}=4\pi {r^2} + 2\pi r^2 = 6\pi {r^2}\);
\(\displaystyle V =\pi r^2h=\pi. R. 2r= 2\pi {r^3}\).
Do đó A, B, D đúng.
Chọn (C).