The Collectors

Bài 10 trang 91 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương \(ABCD. A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).
Phương pháp giải
+) Gắn hệ trục tọa độ sao cho \(A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1).\)
+) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương.
+) Viết phương trình các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).
+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).
Lời giải chi tiết
bai-tap-10-trang-91.jpg

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A(0; 0 ; 0), B(1; 0 ;  0), D(0; 1; 0), A'(0; 0 ; 1)\)
Khi đó \(B'(1; 0 ; 1), D'(0; 1 ; 1), C(1; 1 ; 0)\).
Phương trình mặt phẳng \((A'BD)\) có dạng: \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \) \(\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\).
\(\overrightarrow{CB'}(0 ; -1; 1)\) ; \(\overrightarrow{CD'}(-1; 0 ; 1)\)
Mặt phẳng \((B'D'C)\) qua điểm \(C\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1)\) hay \(\overrightarrow {n}=(1; 1; 1)\) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng \((B'D'C)\) có dạng: \(x-1 + y-1 + z  = 0 \) \(\Leftrightarrow x+y+z-2=0\)
Vậy:
\(\begin{array}{l}d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\d\left({A;\left( {B'D'C} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
 

Quảng cáo

Back
Top