Chứng minh rằng: $P_2 \geq \dfrac{8}{9} P_1$

GS.Xoăn đã viết:

Bài toán
Cho mạch RLC mắc nối tiếp theo thứ tự L-R-C. Đặt vào hai đầu điện áp xoay chiều hiệu có hiệu điện thế hiệu dụng U không đổi, $\omega $ có thể thay đổi được thì đoạn mạch $AB$ tiêu thụ công suất $P_1=100 W$ với hệ số công suất là 1. Khi $\omega =\omega _2$ thì điện áp hiệu dụng $U_{RC}$ đạt cực đại và đoạn mạch $AB$ tiêu thụ công suất $P_2$. Chứng minh rằng:
$$P_2 \geq \dfrac{8}{9} P_1$$
Nguồn: FB, Lil.Tee

Click để xem thêm...

Khi $\omega =\omega _1$ thì hệ số công suất là $1$, mạch đang xảy ra hiện tượng cộng hưởng, suy ra $$P_1 = \dfrac{U^2}{R}.$$
Khi $\omega =\omega _2$, là bài toán quen thuộc hiện nay, không mấy khó khăn có thể thấy được $U_{RC}$ đạt giá trị lớn nhất khi $$\omega _{2}^{2}=\dfrac{2\dfrac{{{L}^{2}}}{{{C}^{2}}}}{{{L}^{2}}\left( \dfrac{L}{C}+\sqrt{\dfrac{{{L}^{2}}}{{{C}^{2}}}+\dfrac{2L}{C}{{R}^{2}}} \right)}<\dfrac{2}{LC}.$$ Từ đó ta suy ra $Z_C>\dfrac{1}{2}Z_L$ và $$\begin{aligned}
Z_{C}^{2}&=\dfrac{1}{2}{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}+\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{2}{{Z}_{L}}{{Z}_{C}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}{{R}^{2}}}, \\
{{\left( Z_{C}^{2}-\dfrac{1}{2}{{Z}_{L}}{{Z}_{C}} \right)}^{2}}&={{\left( \dfrac{1}{2}{{Z}_{L}}{{Z}_{C}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}{{R}^{2}}, \\
{{R}^{2}}&=\dfrac{2\text{Z}_{C}^{2}\left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} \right)}{{{Z}_{L}}} \ \ \left(1\right).\\
\end{aligned}$$ Công suất lúc này là $$\begin{aligned}
{{P}_{2}}&=UI\cos \varphi \\
& =\dfrac{{{U}^{2}}}{R}\cdot \dfrac{R}{Z}\cdot \cos \varphi \\
& =P_{1}^{2}{{\cos }^{2}}\varphi . \\
\end{aligned} $$ Ta có $$\cos ^2 \varphi =\dfrac{R^2}{R^2 + \left( Z_L - Z_C\right)^{2}}=\dfrac{1}{1 + {{\left( x - y \right)}^{2}}}.$$
Trong đó $x=\dfrac{Z_L}{R},y=\dfrac{Z_C}{R}, x<2y$ (việc đặt này chính là bản chất của việc chuẩn hóa cho $R=1$). Với phép đặt như thế thì ta có $\left(1\right)$ tương đương với $$1=\dfrac{2y^2\left(y-x\right)}{x},$$ hay $${{\left(x-y\right)}^{2}}=\dfrac{x\left(y-x\right)}{2{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{{{\left(2x-y\right)}^{2}}}{8{{y}^{2}}}\le \dfrac{1}{8}.$$ (Chú ý rằng, sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai, ta hoàn toàn có thể suy ra được $\left(x-y\right)^2 \le \dfrac{1}{8}$, mình viết vậy cho gọn).
Từ đó suy ra $ \cos ^2 \varphi \ge \dfrac{8}{9},$ hay $$P_2 \ge \dfrac{8}{9}P_1.$$ Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $2x=y$ (thỏa mãn $x<2y$) tức là khi $2Z_L = Z_C$ hay tương đương $\omega _0 = \dfrac{1}{\sqrt{2LC}}$. Tuy nhiên, nó khác với giá trị $\omega _2$ nên đẳng thức trên không thể xảy ra. Vì sao? Bởi vì phương trình $(1)$ chỉ có được khi $\omega = \omega _2$. Do đó ta không thể kết luận giá trị nhỏ nhất của $P_2$ là $\dfrac{8}{9}P_1.$
Vậy khi nào thì giá trị nhỏ nhất của $P_2$ là $\dfrac{8}{9}P_1$? Khi đề bài của chúng ta sửa lại 1 chút như sau:

Cho mạch RLC mắc nối tiếp theo thứ tự $L-R-C$. Đặt vào hai đầu 1 điện áp xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng U không đổi, $\omega$ có thể thay đổi được. Khi $\omega = \omega _1$ thì đoạn mạch AB tiêu thụ công suất $P_1 = 100 \ W$ với hệ số công suất là $1$. Khi $\omega = \omega _ 2$ thì điện áp hiệu dụng $U_{RC}$ đạt cực đại và đoạn mạch AB tiêu thụ công suất là $P_2$. Sau đó giữ nguyên giá trị $\omega _2$ và thay đổi L (hoặc C). Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của $P_2$ là $\dfrac{8}{9}P_1$. Tìm L (hoặc C) khi đẳng thức xảy ra.

Click để xem thêm...