Xác định chu kỳ dao động nhỏ của hệ.

gsxoan đã viết:

Bài toán
Cho cơ hệ như hình vẽ. Thanh cứng NB khối lượng không đáng kể, dài $ l = 50 cm $. Đầu B của thanh gắn một vật nhỏ khối lượng $m =100 g$, thanh có thể quay dễ dàng quanh N trong mặt phẳng hình vẽ. Lò xo nhẹ có độ cứng $k = 100 \text{N}/\text{m}$ được gắn với thanh NB ở vị trí trung điểm C của thanh. Khi hệ cân bằng lò xo không biến dạng. Kéo quả cầu B sao cho thanh NB lệch một góc nhỏ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy $g = 10 \left(\text{m}/\text{s}^2\right)$. Coi trong quá trình dao động lò xo luôn nằm ngang. Xác định chu kỳ dao động nhỏ của hệ.

​

Click để xem thêm...

Lời giải
Khi con lắc lệch góc $\alpha$ nhỏ, vật m có tọa độ x. Lực đàn hồi của lò xo $F_{đh}=-k\dfrac{d}{l}x$.
Lực đàn hồi mà lò xo truyền đến vật: $F'_{đh}=-\dfrac{d^2}{l^2}kx=-\dfrac{kx}{4}$ (do $d=\dfrac{l}{2}$)
Lực hồi phục $F=mg\sin \alpha-\dfrac{kx}{4}=mg\dfrac{x}{l}-\dfrac{kx}{4}=mx''$
$\Rightarrow x''=-[-\dfrac{g}{l}+\dfrac{k}{4m}]x=-\omega ^2x$
$ \Rightarrow \omega \approx 15,2 {rad}/s \Rightarrow T\approx 0,413s$

minhtangv đã viết:

Lời giải
Khi con lắc lệch góc $\alpha$ nhỏ, vật m có tọa độ x. Lực đàn hồi của lò xo $F_{đh}=-k\dfrac{d}{l}x$.
Lực đàn hồi mà lò xo truyền đến vật: $F'_{đh}=-\dfrac{d^2}{l^2}kx=-\dfrac{kx}{4}$ (do $d=\dfrac{l}{2}$)

Click để xem thêm...

Sao lại có những công thức lực đàn hồi này ạ? Thầy minhtangv

GS.Xoăn đã viết:

Bài toán
Cho cơ hệ như hình vẽ. Thanh cứng NB khối lượng không đáng kể, dài $ l = 50 cm $. Đầu B của thanh gắn một vật nhỏ khối lượng $m =100 g$, thanh có thể quay dễ dàng quanh N trong mặt phẳng hình vẽ. Lò xo nhẹ có độ cứng $k = 100 \text{N}/\text{m}$ được gắn với thanh NB ở vị trí trung điểm C của thanh. Khi hệ cân bằng lò xo không biến dạng. Kéo quả cầu B sao cho thanh NB lệch một góc nhỏ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy $g = 10 \left(\text{m}/\text{s}^2\right)$. Coi trong quá trình dao động lò xo luôn nằm ngang. Xác định chu kỳ dao động nhỏ của hệ.

​

Click để xem thêm...

Xét hệ ở vị trí thanh NB lệch một góc $\alpha $ nhỏ so với phương thẳng đứng như hình vẽ. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương ngược chiều kim đồng hồ, gốc thế năng ở vị trí cân bằng.

Động năng của hệ $$E_{\text{đ}}=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}ml^2\omega ^2$$
Thế năng của hệ (thế năng đàn hồi của lò xo và thế năng trọng trường của vật nặng) $$E_t=\dfrac{1}{2}k\Delta l^2-mgh$$
Trong đó: $\Delta l$ là độ biến dạng của lò xo;$h=l\left(1-\cos \alpha \right)$ và với góc lệch $\alpha $ nhỏ thì $\Delta l=\dfrac{l}{2}.\alpha $.

Suy ra $$E_t=\dfrac{1}{2}\dfrac{kl^2}{4}.\alpha ^2-mgl\left(1-\cos \alpha \right)$$
Cơ năng của hệ $$E=\dfrac{1}{2}ml^2\omega ^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{kl^2}{4}.\alpha ^2-mgl\left(1-\cos \alpha\right)$$
Bỏ qua mọi ma sát thì cơ năng của hệ bảo toàn nên $$\dfrac{dE}{dt}=0\quad \Leftrightarrow \quad ml^2\omega ' \omega +\dfrac{kl^2}{4}.\alpha '.\alpha -mgl\alpha '\sin \alpha =0$$
Ta lại có $\alpha '=\omega $, $\alpha ''=\omega '$, $\sin \alpha \approx \alpha $ và tại vị trí đang xét thì $\alpha '=\omega \neq 0$, ta suy ra
$$ml^2\alpha ''+\left(\dfrac{kl^2}{4}-mgl\right)\alpha =0 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha ''+\left(\dfrac{k}{4m}-\dfrac{g}{l}\right)\alpha =0$$
Đặt $\Omega ^2=\dfrac{k}{4m}-\dfrac{g}{l}$, ta có $$\alpha ''+\Omega ^2\alpha =0$$
Phương trình vi phân chứng tỏ vật dao động điều hòa với chu kỳ $$T=\dfrac{2\pi }{\Omega }=\dfrac{2\pi }{\sqrt{\dfrac{k}{4m}-\dfrac{g}{l}}}=\dfrac{2.3,14}{\sqrt{\dfrac{100}{4.0,1}-\dfrac{10}{0,5}}}=0,41s$$

minhtangv đã viết:

Lời giải
Khi con lắc lệch góc $\alpha$ nhỏ, vật m có tọa độ x. Lực đàn hồi của lò xo $F_{đh}=-k\dfrac{d}{l}x$.
Lực đàn hồi mà lò xo truyền đến vật: $F'_{đh}=-\dfrac{d^2}{l^2}kx=-\dfrac{kx}{4}$ (do $d=\dfrac{l}{2}$)
Lực hồi phục $F=mg\sin \alpha-\dfrac{kx}{4}=mg\dfrac{x}{l}-\dfrac{kx}{4}=mx''$
$\Rightarrow x''=-[-\dfrac{g}{l}+\dfrac{k}{4m}]x=-\omega ^2x$
$ \Rightarrow \omega \approx 15,2 {rad}/s \Rightarrow T\approx 0,413s$

Click để xem thêm...

Quan điểm của tôi thì thanh NB cùng với vật nặng thực hiện chuyển động lắc, với biên độ lắc là nhỏ thì với những điểm gần tâm N sẽ di chuyển trên những quỹ đạo ngắn có thể xem như một đoạn thẳng, điểm xa tâm N thì di chuyển trên quỹ đạo dài hơn và càng xa tâm thì quỹ đạo chuyển động càng dài và khi đó thì quỹ đạo chuyển động không còn được xem là quỹ đạo thẳng nữa.

Với biên độ góc nhỏ $10^0\approx 0,0872rad$ thì biên độ dài của vật khi $NB=0,5m$ là $0,0872.0,5m=0,0436m$; khi $NB=1m$ là $0,0872.1m=0,0872m$ và khi $NB=5m$ là $0,0872.5m=0,436m$. Và như vậy thì không phải trong mọi trường hợp ta đều có thể xem là vật dao động trên quỹ đạo thẳng.

Vậy, việc khảo sát ở trên của thầy cho kết quả đúng nhưng ngay từ đầu có cái chưa chặt chẽ như đã nêu. Vì chuyển động của vật là chuyển động lắc (quanh quanh một điểm) nên các phương trình nếu viết dưới dạng mô-men thì hoàn toàn chặt chẽ.

PS: Đây cũng là lý do tôi luôn khảo sát dao động của vật bằng phương pháp năng lượng, nó tránh được nhiều cái lấn cấn như chiều của lực, về dấu này nọ nữa.

Võ Văn Đức đã viết:

Thế năng của hệ (thế năng đàn hồi của lò xo và thế năng trọng trường của vật nặng)

Et=12kΔl2−mgh​

E_t=\dfrac{1}{2}k\Delta l^2-mgh

Click để xem thêm...

Sao thế năng trọng trường của vật nặng lại bằng $-mgh$ thế ạ anh Võ Văn Đức

Đây là đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc. Câu số 7:
http://d.violet.vn//uploads/resources/607/3592371/preview.swf

osp đã viết:

Sao thế năng trọng trường của vật nặng lại bằng $-mgh$ thế ạ anh Võ Văn Đức

Click để xem thêm...

Vì chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng, vị trí khảo sát vật nặng ở vị trí thấp hơn gốc thế năng một đoạn bằng $h$ nên thế năng trọng trường của vật nặng bằng $-mgh$.