Hỏi có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối $2$ nguồn?

hoankuty đã viết:

Bài toán
Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng kết hợp $O_{1}$ và $O_{2}$ dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ tọa độ vuông góc $Oxy$ với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn $O_{1}$ còn nguồn $O_{2}$ nằm trên trục $Oy$. Hai điểm $M$ và $N$ di động trên trục $Ox$ thỏa mãn $OM=a;ON=b\left(a<b\right)$. Biết rằng $ab=324\left(cm\right)$ ; $O_{1}O_{2}=18\left(cm\right)$ và $b\epsilon\left[21,6;24 \right]\left(cm\right)$ . Khi góc $MO_{2}N$ có giá trị lớn nhất thì hấy rằng $M,N$ dao động với biên độ cực đại và giữa chúng có $2$ cực tiểu. Hỏi có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối $2$ nguồn?

Click để xem thêm...

gsxoan đã viết:

Lời giải

Ta có:
$$\tan \widehat{MO_2N}=\tan \left(\widehat{O_1O_2N}-\widehat{O_1O_2N}\right)=\dfrac{\tan \widehat{O_1O_2N}-\tan \widehat{O_1O_2M}}{1+\tan \widehat{O_1O_2N}\tan \widehat{O_1O_2M}}$$
Với $\tan \widehat{O_1O_2N}=\dfrac{b}{O_1O_2}=\dfrac{b}{18}$
$\tan \widehat{O_1O_2M}=\dfrac{a}{O_1O_2}=\dfrac{a}{18}$
Nên: $\tan \widehat{MO_2N}=\dfrac{\dfrac{b}{18}-\dfrac{a}{18}}{1+\dfrac{b}{18}.\dfrac{a}{18}}=\dfrac{b-a}{18+\dfrac{ab}{18}}$
Với $ab=324\Rightarrow a=\dfrac{324}{b} \Rightarrow \tan \widehat{MO_2N}=\dfrac{1}{36} \left(b-\dfrac{324}{b}\right)$
Xét $$f\left(b\right)=\dfrac{1}{36} \left(b-\dfrac{324}{b}\right), b\in [21,6;24]$$
$$f'\left(b\right)=\dfrac{1}{36}\left(1+\dfrac{324}{b^2}\right)>0 \forall b \in [21,6;24]$$
Nên $f\left(b\right)max=f\left(24\right)$ hay $\widehat{MO_2N}max$ khi $b=24 \Rightarrow a=13,5$
Khi đó ta tính được: $O_2N=30;O_2M=22,5$
Điểm $M,N$ do động với biên độ cực đại khi
$$O_2N-O_1N=k_1 \lambda =30-24=6$$
$$O_2M-O_1M=k_2 \lambda =22,5-13,5=9$$
Giữa $M$ và $N$ có hai cực tiểu suy ra $k_2=k_1+2$
$$\Leftrightarrow \dfrac{9}{\lambda}=\dfrac{6}{\lambda}+2 \Rightarrow \lambda=\dfrac{3}{2}$$
Đến đây ta đi tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối hai nguồn là số k nguyên thỏa mãn:
$$-\dfrac{O_1O_2}{\lambda}<k<\dfrac{O_1O_2}{\lambda}$$
Có tất cả 23 điểm.

Click để xem thêm...

hoankuty đã viết:

Bạn gõ nhanh đấy

Click để xem thêm...