Tìm li độ $x$ vào thời điểm $t=\dfrac{1}{60}\left(s\right)$ ứng với dao động tổng hợp có biên độ nhỏ nhất?

hoankuty

Ngố Design
Bài toán
Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với $x_{1}=A_{1}\cos \left(100\pi t+\dfrac{\pi }{3}\right)\left(cm\right)$ và $x_{2}=A_{2}\cos \left(100\pi t-\dfrac{\pi }{2}\right)\left(cm\right)$. Dao động tổng hợp có phương trình $x=A\cos \left(100\pi t+\varphi \right)\left(cm\right)$. Biết rằng trong cả quá trình thì $A_{1}A_{2}=500$. Tìm li độ $x$ vào thời điểm $t=\dfrac{1}{60}\left(s\right)$ ứng với dao động tổng hợp có biên độ nhỏ nhất?

P/s:Số lẻ là số đẹp.
 
Last edited:
Bài toán
Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với $x_{1}=A_{1}\cos \left(100\pi t+\dfrac{\pi }{3}\right)\left(cm\right)$ và $x_{2}=A_{2}\cos \left(100\pi t-\dfrac{\pi }{2}\right)\left(cm\right)$. Dao động tổng hợp có phương trình $x=A\cos \left(100\pi t+\varphi \right)\left(cm\right)$. Biết rằng trong cả quá trình thì $A_{1}A_{2}=500$. Tìm li độ $x$ vào thời điểm $t=\dfrac{1}{60}\left(s\right)$ ứng với dao động tổng hợp có biên độ nhỏ nhất?

P/s:Số lẻ là số đẹp.
Lời giải

Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác:
$ \dfrac{A}{\sin 30^{o}} =\dfrac{A_1}{\sin \left(90^{o} - \varphi \right)} = \dfrac{A_2}{\sin \left(60^{o} + \varphi\right)}$
$$\Rightarrow \begin{cases} A_1 =\dfrac{\sin \left( 90^{o} -\varphi\right)}{\sin 30 ^{o}}A \\ A_2=\dfrac{\sin \left(60^o+\varphi\right)}{\sin 30^o} A \end{cases} $$
$$ \Rightarrow A_1A_2= \dfrac{A^2}{\sin ^2 30^0} \sin \left( 90^o -\varphi\right) \sin \left(60^o + \varphi\right) $$
Suy ra: $\dfrac{4000}{A^2} = \cos \left( 30^0 -2 \varphi\right) - \cos 150^0$
Ta có: $A_{min} \Leftrightarrow \cos \left( 30^0-2 \varphi\right)=1 \Leftrightarrow \varphi = 15 ^0$
Tính theo lượng giác thì: $\varphi= - \dfrac{\pi }{12}$
Còn công việc tính $A$ thì hơi lẻ.
Tìm $A$ rồi ta viết phương trình dao động tổng hợp, thay giá trị $t$ vào phương trình tìm li độ $x$
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
Solution
Lời giải

Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác:
$ \dfrac{A}{\sin 30^{o}} =\dfrac{A_1}{\sin \left(90^{o} - \varphi \right)} = \dfrac{A_2}{\sin \left(60^{o} + \varphi\right)}$
$$\Rightarrow \begin{cases} A_1 =\dfrac{\sin \left( 90^{o} -\varphi\right)}{\sin 30 ^{o}}A \\ A_2=\dfrac{\sin \left(60^o+\varphi\right)}{\sin 30^o} A \end{cases} $$
$$ \Rightarrow A_1A_2= \dfrac{A^2}{\sin ^2 30^0} \sin \left( 90^o -\varphi\right) \sin \left(60^o + \varphi\right) $$
Suy ra: $\dfrac{4000}{A^2} = \cos \left( 30^0 -2 \varphi\right) - \cos 150^0$
Ta có: $A_{min} \Leftrightarrow \cos \left( 30^0-2 \varphi\right)=1 \Leftrightarrow \varphi = 15 ^0$
Tính theo lượng giác thì: $\varphi= - \dfrac{\pi }{12}$
Còn công việc tính $A$ thì hơi lẻ.
Tìm $A$ rồi ta viết phương trình dao động tổng hợp, thay giá trị $t$ vào phương trình tìm li độ $x$
Biến đổi đẹp thật \m/
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
Lời giải

Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác:
$ \dfrac{A}{\sin 30^{o}} =\dfrac{A_1}{\sin \left(90^{o} - \varphi \right)} = \dfrac{A_2}{\sin \left(60^{o} + \varphi\right)}$
$$\Rightarrow \begin{cases} A_1 =\dfrac{\sin \left( 90^{o} -\varphi\right)}{\sin 30 ^{o}}A \\ A_2=\dfrac{\sin \left(60^o+\varphi\right)}{\sin 30^o} A \end{cases} $$
$$ \Rightarrow A_1A_2= \dfrac{A^2}{\sin ^2 30^0} \sin \left( 90^o -\varphi\right) \sin \left(60^o + \varphi\right) $$
Suy ra: $\dfrac{4000}{A^2} = \cos \left( 30^0 -2 \varphi\right) - \cos 150^0$
Ta có: $A_{min} \Leftrightarrow \cos \left( 30^0-2 \varphi\right)=1 \Leftrightarrow \varphi = 15 ^0$
Tính theo lượng giác thì: $\varphi= - \dfrac{\pi }{12}$
Còn công việc tính $A$ thì hơi lẻ.
TÌm $A$ rồi ta viết phương trình dao động tổng hợp, thay giá trị $t$ vào phương trình tìm li độ $x$
Chú hoàn dùng số điện thoại nào ấy: có gì nhắn qua cho anh số này có việc cần nhóe: anh nick face: Pham cuong đây: 01688990926
 
Ý tưởng của tác giả:

$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}.\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\geq 2A_{1}A_{2}$

Do đó:

$A^{2}\geq 2A_{1}A_{2}+2A_{1}A_{2}.\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)$

P/s:Dùng hình học thì chắc bài này sẽ hay hơn :x:x:x:x:x
 
Ý tưởng của tác giả:

$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}.\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\geq 2A_{1}A_{2}$

Do đó:

$A^{2}\geq 2A_{1}A_{2}+2A_{1}A_{2}.\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)$

P/s:Dùng hình học thì chắc bài này sẽ hay hơn :x:x:x:x:x
Cách này tính ra A nhanh hơn.
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
Thực ra mục tiêu của mình không phải cách này, mà là muốn dùng hình học cơ, nhưng thấy cách này ưu thế hơn.
P/s: đang làm 1 chuyên đề tổng hợp dao động dùng hình học tặng cho đứa em gái học lớp 11 =))=))
Ghê nhỉ? Mà tưởng bảo bỏ lí sao hôm nay thấy onl suốt
 

Quảng cáo

Back
Top