Giá trị của ${{\omega }_{0}}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?

geomineq đã viết:

Bài toán
Cho mạch $RLC$ nối tiếp, cuộn cảm thuần, $\omega $thay đổi được. Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu mạch. Điều chỉnh $\omega ={{\omega }_{0}}$để công suất của mạch đạt cực đại. Điều chỉnh $\omega ={{\omega }_{L}}=48\pi $(rad/s) thì điện áp hai đầu cuộn cảm đạt cực đại. Ngắt mạch $RLC$ ra khỏi điện áp rồi nối với một máy phát điện xoay chiều một pha có $1$ cặp cực nam châm và điện trở trong không đáng kể. Khi tốc độ quay của roto bằng ${{n}_{1}}=20$(vòng/s) hoặc ${{n}_{2}}=60$(vòng/s) thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm bằng nhau. Giá trị của ${{\omega }_{0}}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. $149,37 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$
B. $156,1 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$
C. $161,54 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$
D. $172,3 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$

Click để xem thêm...

Lời giải

Giải.

Nhắc lại một số công thức quen thuộc

Điều chỉnh $\omega $để công suất mạch cực đại thì $\omega ={{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Điều chỉnh $\omega $để ${{U}_{L\max }}$thì $\omega ={{\omega }_{L}}=\dfrac{1}{C}.\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}}.$

Máy phát điện xoay chiều một pha có 1 cặp cực nam châm thì $f=np=n\Rightarrow n=\dfrac{\omega }{2\pi }$.

Ta có

$\begin{align}

& {{U}_{L}}=\dfrac{U.{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{N.{{\phi }_{0}}.{{\omega }^{2}}.L}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( L\omega -\dfrac{1}{C\omega } \right)}^{2}}}} \\

& =\dfrac{N{{\phi }_{0}}L}{\sqrt{\dfrac{1}{{{C}^{2}}}.\dfrac{1}{{{\omega }^{6}}}+\left( \dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}}+\dfrac{L}{{{\omega }^{2}}}}}. \\

\end{align}$

Xét $ f\left( \dfrac{1}{{{\omega }^{2}}} \right)=\dfrac{1}{{{C}^{2}}.{{\omega }^{6}}}.+\left( \dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}}+\dfrac{L}{{{\omega }^{2}}} $

Theo định lý Viet có ba giá trị của $\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}$ là \[\dfrac{1}{\omega _{1}^{2}};\dfrac{1}{\omega _{2}^{2}};\dfrac{1}{\omega _{3}^{2}}\] để $f\left( \dfrac{1}{\omega _{{}}^{2}} \right)$ có giá trị không đổi.

Thỏa mãn


Ta có


Và ${{\omega }_{L}}=48\pi $ thay vào (1) tính được ${{\omega }_{3}}=238,43$

Thay vào (2) tính được ${{\omega }_{0}}=156,121$ Chọn đáp án B.




P/s. Latex của mình cứ bị lỗi!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

geomineq đã viết:

Bài toán
Cho mạch $RLC$ nối tiếp, cuộn cảm thuần, $\omega $thay đổi được. Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu mạch. Điều chỉnh $\omega ={{\omega }_{0}}$để công suất của mạch đạt cực đại. Điều chỉnh $\omega ={{\omega }_{L}}=48\pi $(rad/s) thì điện áp hai đầu cuộn cảm đạt cực đại. Ngắt mạch $RLC$ ra khỏi điện áp rồi nối với một máy phát điện xoay chiều một pha có $1$ cặp cực nam châm và điện trở trong không đáng kể. Khi tốc độ quay của roto bằng ${{n}_{1}}=20$(vòng/s) hoặc ${{n}_{2}}=60$(vòng/s) thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm bằng nhau. Giá trị của ${{\omega }_{0}}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. $149,37 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$
B. $156,1 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$
C. $161,54 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$
D. $172,3 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$

Click để xem thêm...

Có: $\omega _{1}=40\pi , \omega _{2}=120\pi $
Do khi $\omega =\omega _1$ hay $\omega =\omega _2$ thì điện áp 2 đầu cuộn cảm không đổi nên
$$\dfrac{n_1^2}{\sqrt{R^2+\left(Z_{L_1}-Z_{C_1}\right)}}=\dfrac{n_{2}^2}{\sqrt{R^2+\left(Z_{L_2}-Z_{C_2}\right)^2}}$$
Suy ra $$160\dfrac{L}{C}-80R^2=81\left(Z_{L_1}^2+Z_{C_1}\right)-\left(Z_{L_2}^2+Z_{C_2}^2\right) ,\,\,\,\,\ \left(1\right)$$
Lại có khi $\omega _{3}=48\pi $ thì điện áp 2 đầu cuộn cảm cực đại nên
$$\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^2}{2}=Z_{C_3}^2 ,\,\,\,\ \left(2\right)$$
Lấy $160\left(2\right)-\left(1\right)$ được
$$160Z_{C_{3}}^2- 81\left(Z_{L_1}^2+Z_{C_1}\right)+\left(Z_{L_2}^2+Z_{C_2}^2\right)=0$$
$$\left( \dfrac{160}{\omega _3^2}-\dfrac{81}{\omega _1^2}+\dfrac{1}{\omega _2^2} \right)\dfrac{1}{C^2}+\left(-81\omega _1^2+\omega _2^2\right)L^2=0$$
Suy ra
$$\omega _{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=156,12 \ \left(\text{rad}/\text{s}\right)$$
Vậy chon B.
PS. Lộn mất 2 cái $\omega $, khi rút gọn được 2 biểu thức giống nhau

hoangmac Bạn xem xét cả hai lời giải nhé

geomineq đã viết:

Lời giải

Giải.

Nhắc lại một số công thức quen thuộc

Điều chỉnh $\omega $để công suất mạch cực đại thì $\omega ={{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Điều chỉnh $\omega $để ${{U}_{L\max }}$thì $\omega ={{\omega }_{L}}=\dfrac{1}{C}.\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}}}}.$

Máy phát điện xoay chiều một pha có 1 cặp cực nam châm thì $f=np=n\Rightarrow n=\dfrac{\omega }{2\pi }$.

Ta có

$\begin{align}

& {{U}_{L}}=\dfrac{U.{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{N.{{\phi }_{0}}.{{\omega }^{2}}.L}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( L\omega -\dfrac{1}{C\omega } \right)}^{2}}}} \\

& =\dfrac{N{{\phi }_{0}}L}{\sqrt{\dfrac{1}{{{C}^{2}}}.\dfrac{1}{{{\omega }^{6}}}+\left( \dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}}+\dfrac{L}{{{\omega }^{2}}}}}. \\

\end{align}$

Xét $ f\left( \dfrac{1}{{{\omega }^{2}}} \right)=\dfrac{1}{{{C}^{2}}.{{\omega }^{6}}}.+\left( \dfrac{2L}{C}-{{R}^{2}} \right)\dfrac{1}{{{\omega }^{4}}}+\dfrac{L}{{{\omega }^{2}}} $

Theo định lý Viet có ba giá trị của $\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}}$ là \[\dfrac{1}{\omega _{1}^{2}};\dfrac{1}{\omega _{2}^{2}};\dfrac{1}{\omega _{3}^{2}}\] để $f\left( \dfrac{1}{\omega _{{}}^{2}} \right)$ có giá trị không đổi.

Thỏa mãn

Ta có

Và ${{\omega }_{L}}=48\pi $ thay vào (1) tính được ${{\omega }_{3}}=238,43$

Thay vào (2) tính được ${{\omega }_{0}}=156,121$ Chọn đáp án B.




P/s. Latex của mình cứ bị lỗi ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Click để xem thêm...

Cách này hay nhỉ